Question

Написать уравнения касательной и нормали к заданной в неявном виде кривой F(x;y) = 0, проходящих через точку (x;y), координаты которой удовлетворяют условию: log(x=15)​

Answer 1

Пусть $F(x, ~ y) = \log_{2}(x+1) + \sqrt{y-1}-8$ и задана в неявном виде $F(x, ~ y) = 0.$

Тогда если $x = 15$, то

$\log_{2}(15+1) + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$\log_{2}16 + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$4 + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$\sqrt{y-1} = 4;$

$y - 1 = 16;$

$y = 17.$

Следовательно, $y(15)=17.$

Найдем $y' \colon$

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-\dfrac{\partial F}{\partial x} }{\dfrac{\partial F}{dy} } = -\dfrac{F'_{x}}{F'_{y}} = -\dfrac{2\sqrt{y-1}}{\ln 2 (x+1)}$

$y'(15) = -\dfrac{2\sqrt{17-1}}{\ln 2 \cdot (15+1)} =\dfrac{2\sqrt{16}}{\ln 2 \cdot 16} = \dfrac{1}{2\ln 2}$

Находим уравнение касательной:

$y = y'(x_{0})(x - x_{0}) + y(x_{0})=\dfrac{1}{2\ln 2}(x - 15) + 17 = \dfrac{x - 15}{2\ln 2} +17$

и уравнение нормали в этой же точке:

$y = -\dfrac{1}{y'(x_{0})} (x - x_{0}) + y(x_{0})=-2\ln 2(x - 15) + 17$

Answer 2

Для нахождения уравнений касательной и нормали к заданной кривой в неявном виде, проходящих через точку (x, y), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем производные по x и y от уравнения F(x, y) = 0.
2. Подставим координаты точки (x, y) в уравнение производной по x, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
3. Угловой коэффициент нормали будет отрицанием обратного значения углового коэффициента касательной.
4. Запишем уравнения касательной и нормали используя найденные угловые коэффициенты и координаты точки.

Предположим, что у нас есть уравнение кривой в неявном виде: F(x, y) = 0.

Затем продолжим с вычислениями:

1. Найдем производные: Пусть F_x обозначает частную производную F по x, а F_y - по y.

2. Угловой коэффициент касательной: В точке (x, y) угловой коэффициент касательной будет равен -F_x(x, y) / F_y(x, y).

3. Угловой коэффициент нормали: Угловой коэффициент нормали будет равен -F_y(x, y) / F_x(x, y).

4. Уравнение касательной: Уравнение касательной в точке (x, y) будет иметь вид: y - y1 = m*(x - x1), где m - угловой коэффициент касательной, (x1, y1) - координаты точки.

5. Уравнение нормали: Уравнение нормали в точке (x, y) будет иметь вид: y - y1 = n*(x - x1), где n - угловой коэффициент нормали, (x1, y1) - координаты точки.

Учтите, что вам нужно будет подставить значения производных и координат точки (x, y) в уравнения касательной и нормали для получения окончательных уравнений.

Если вы предоставите конкретное уравнение F(x, y) = 0 и точку (x, y), то я с удовольствием помогу вам найти уравнения касательной и нормали.