Question

Доказать, что (17^n-1) делится нацело на 16 для любого натурального числа n. Подскажите пожалуйста.

Answer 1

Докажем методом математической индукции.

1) При $n=1$ выполнено $16~\vdots~ 16$.

2) Предположим, что при $n=k$ выражение $\Big(17^k-1\Big)~\vdots~16$

3) Докажем теперь при $n=k+1$

$17^{k+1}-1=17\cdot 17^k-1=\Big(17^k-1\Big)+16\cdot 17^k$

Первая скобка делится на 16 по предположению 2), а слагаемое $16\cdot 17^k$ очевидно делится на 16, следовательно и сумма этих слагаемых делится на 16. Следовательно, выражение $\Big(17^n-1\Big)~ \vdots~ 16$ для любых натуральных $n.$

Answer 2

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1:

(17^1 - 1) = 17 - 1 = 16.

16 делится нацело на 16.

Шаг предположения: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть (17^k - 1) делится нацело на 16.

Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1:

Рассмотрим выражение (17^(k+1) - 1). Мы можем разложить 17^(k+1) как (17^k * 17). Теперь мы можем переписать выражение следующим образом:

(17^k * 17 - 1) = 17^k * 17 - 1^k.

Заметим, что 17^k * 17 - 1^k это разность двух чисел, у одного из которых вторая степень равна 1 (что эквивалентно 1^k). Таким образом, разность будет делиться нацело на (17 - 1), то есть 16. Мы знаем, что 17^k - 1 делится нацело на 16 по предположению индукции. Таким образом, их произведение тоже будет делиться нацело на 16.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно верно и для n = k + 1.

С учетом базового шага и шага индукции, мы доказали, что для любого натурального числа n выполняется утверждение, что (17^n - 1) делится нацело на 16.