Question

Дам 100 баллов, помогите пожалуйста (6 задание) [™] [™] [™] [™] 3 [™] [™] [™], применяя метод интегрирования по частям. [2]b) Найдите площадь фигуры, ограниченную графиком функции y=-x(2)+4x, y=0, x=2c) Закрашенная часть вращается вокруг оси ОХ на 360 градусов, образ тело вращения. Найдите точное значение объема тела вращения. 3]​

Answer 1

Ответ:

Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:

Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:

ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.

y2 = 4x; y = 0; x = 4.

Пределы интегрирования a = 0, b = 4.

ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x

Выполним построение фигуры. Решим систему:

y2 = 4x

y = x

найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).

Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:

V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π

см. также как вычислить интеграл онлайн

ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.

Рис. 2. Объем тела вращения.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, f2(x)=x.

.

Ответ: .

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 2

Спасибо за предложение баллов, но я могу помочь вам решить задачи бесплатно. Давайте начнем.

а) Для решения этой задачи с помощью метода интегрирования по частям нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^2 + 4x, осью x и осью y.

Для начала, найдем точки пересечения функции с осями x и y. Для этого приравняем y к нулю:

-x^2 + 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(-x + 4) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 4.

Теперь мы можем нарисовать график функции y = -x^2 + 4x и найти площадь фигуры, ограниченной этой функцией и осями x и y.

markdownCopy code
    |
    |
    |        .
    |     .
    |  .
    |____________________
          0     4

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем вычислить определенный интеграл функции y = -x^2 + 4x от x = 0 до x = 4:

S = ∫[0, 4] (-x^2 + 4x) dx

Давайте применим метод интегрирования по частям. Возьмем u = -x^2 + 4x и dv = dx. Тогда du = (-2x + 4) dx и v = x.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получим:

S = (-x^2 + 4x)x - ∫x(-2x + 4) dx = -x^3 + 4x^2 + 2x^3 - 4x^2 dx = 2x^3 - x^3 dx = x^3 dx

Теперь вычислим интеграл x^3 по пределам от 0 до 4:

S = [x^4/4]_[0, 4] = (4^4/4) - (0^4/4) = 256/4 = 64

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^2 + 4x, осью x и осью y, равна 64.

б) Для решения этой задачи нам нужно найти объем тела вращения, образованного закрашенной частью, которая вращается вокруг оси OX на 360 градусов.

Объем такого тела вращения можно найти с помощью формулы объема