Question

Y''' - 2y''+y'=-2e^(-2x) Помогите решить пожалуйста

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода вариации постоянных. Сначала найдём общее решение однородной части уравнения (то есть уравнения без правой части) Y''' - 2Y'' + Y' = 0, а затем найдём частное решение неоднородного уравнения с правой частью -2e^(-2x).

Шаг 1: Найдём общее решение однородной части:

Характеристическое уравнение: r^3 - 2r^2 + r = 0.

Факторизуем его: r(r^2 - 2r + 1) = r(r - 1)^2 = 0.

Таким образом, у нас есть один корень кратности 1 (r = 0) и один корень кратности 2 (r = 1).

Общее решение однородной части: Y_h(x) = c1 + c2 * e^x + c3 * x * e^x.

Шаг 2: Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения:

Предположим, что частное решение имеет вид Y_p(x) = A * e^(-2x), где A - некоторая постоянная.

Подставим это в исходное уравнение:

Y''' - 2Y'' + Y' = -2e^(-2x) (-2A) - 2(-2A) + A = -2e^(-2x) -2A + 4A + A = -2e^(-2x) 3A = -2e^(-2x) A = -2/3 * e^(2x)

Таким образом, частное решение: Y_p(x) = -2/3 * e^(2x).

Общее решение неоднородного уравнения:

Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) Y(x) = c1 + c2 * e^x + c3 * x * e^x - 2/3 * e^(2x),

где c1, c2 и c3 - произвольные постоянные.

Это будет общим решением данного дифференциального уравнения.