Question

п! Обозначим произведение всех натуральных чисел от 1 до n. (Например, 4! = 1⋅2⋅3⋅4.) 1! +2! +3! +4! +5! + ⋯ + 100! На каком числе заканчивается сумма?

Answer 1

Ответ:

на 0

Пошаговое объяснение:

п! = 1*2*3*4*5*...*(п-1)*п

если п ≥  5, то п! будет делится на 2 и на 5, следовательно и на 10

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру суммы $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 100!$, давайте рассмотрим, какие последние цифры имеют факториалы от 1 до 100:

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600 13! = 6227020800 ... и так далее.

Заметим, что начиная с $5!$ и далее, все факториалы будут оканчиваться на ноль, потому что они будут иметь в своем разложении в произведение числа 10. Таким образом, $5! + 6! + 7! + \ldots + 100!$ будет оканчиваться на ноль.

Теперь, когда мы знаем, что $5! + 6! + 7! + \ldots + 100!$ оканчивается на ноль, остается найти последнюю цифру суммы $1! + 2! + 3! + 4!$.

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24

Теперь сложим их:

1 + 2 + 6 + 24 = 33

Таким образом, последняя цифра суммы $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 100!$ равна 3.