Question

По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два машины со скоростями 30 км/ч и 40 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

расстояние до перекрестка у первого 10-30х

у второго 10-40х. Это "катеты" прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора находим

√[(10-30х)²+(10-40х)²]=√(100-600х+900х²+100-800х+1600х²)

√(2500х²-1400х+200) =ф(х)

ф(х)¹=1/2*(5000х-1400)√(2500х²-1400х+200)  =0

в точке максимума или минимума

5000х-1400=0       50х=14  х=0,28  через 0,28 часа будет наименьшее расстояние

для проверки возьму 0,2 и 0,3 проверю знак производной.

1/2*(5000х-1400)√(2500х²-1400х+200)

1/2*(-400)/(20)     ЗНАК -   функция убывает  при х=0,2

1/2*(100)/(5)           ЗНАК+   функция возрастает при х=0,3

убывание сменяется на возрастание - есть  минимум в точке 0,28

Answer 2

Для нахождения времени, через которое расстояние между машинами будет наименьшим, давайте обозначим следующие величины:

Пусть $x$ будет расстоянием от первой машины до перекрестка, и $y$ - расстоянием от второй машины до перекрестка. Так как машины движутся по взаимно перпендикулярным улицам, мы имеем дело с прямоугольным треугольником. По теореме Пифагора:

$x^2 + y^2 = 10^2$

Теперь мы можем выразить $y$ через $x$ следующим образом:

$y = \sqrt{10^2 - x^2}$

Скорость первой машины ($V_1$) равна 30 км/ч, а скорость второй машины ($V_2$) равна 40 км/ч. Мы хотим найти момент времени $t$, через который расстояние между машинами будет минимальным. Расстояние между машинами можно выразить как:

$D = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (10^2 - x^2)} = \sqrt{100 - x^2}$

Теперь мы можем выразить $D$ в зависимости от $x$ и затем найти производную $D$ по $x$ и приравнять её к нулю, чтобы найти минимум:

$D(x) = \sqrt{100 - x^2}$

$D'(x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}$

Теперь приравняем $D'(x)$ к нулю:

$\frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0$

Так как $D'(x)$ равна нулю при $x = 0$, то это является критической точкой. Однако, для нас интересна точка на расстоянии от перекрестка больше нуля. Следовательно, $x$ должно быть равно 10 км (расстояние до перекрестка).

Теперь мы можем найти $y$ в этот момент времени:

$y = \sqrt{10^2 - (10^2)} = 0$

Расстояние между машинами в этот момент времени равно 0, и это наименьшее расстояние между ними. Таким образом, минимальное расстояние между машинами будет равно 0, и оно достигнется через $t = 0$ часов после начального момента времени.