Question

Две дороги пересекаются под углом в 60 градусов.Две машины расположены на разных дорогах так, что угол с вершиной в перекрестке, образованный этими машинами, равен 60 градусов. Расстояние от первой машины до перекрестка равно 25 км. Расстояние от второй машины до перекрестка - 10 км. Обе машины начинают двигаться. Первая со скоростью 80 км/ч в сторону перекрестка, вторая со скоростью 60 ккм/ч в сторону от перекрестка. Через какую часть часа расстояние между ними будет наименьшим ? Варианты ответов: 1) 35/296 часа 2)3/29 часа 3)3/28 часа 4)3/26 часа

Answer 1

З) за 3/28 часа))))

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся геометрическими соображениями и аналитической геометрией.

Заметим, что по условию угол между двумя дорогами равен 60 градусам. Это означает, что высота треугольника, образованного этими дорогами, равна произведению половины расстояния между перекрестком и первой машиной на тангенс 60 градусов:

h = (1/2) * 25 * tan(60) = 25 * √3 / 2.

Теперь мы можем использовать аналитическую геометрию для нахождения координат точек, где находятся машины. Обозначим точку перекрестка как начало координат (0, 0). Тогда координаты первой машины будут (25, h) и координаты второй машины будут (-10, -h).

Теперь можем найти функции, описывающие движение машин. Для первой машины координата y изменяется со временем x следующим образом:

y1 = (80/60) * x + h.

Для второй машины координата y изменяется со временем x следующим образом:

y2 = -(60/60) * x - h.

Теперь найдем точку пересечения двух функций. Подставим y1 и y2 одно в другое:

(80/60) * x + h = -(60/60) * x - h.

Упростим выражение:

(140/60) * x = -2h.

Теперь найдем значение x:

x = -(2h) * (60/140) = -30/7 * √3.

Подставим это значение x в одну из функций, например, в y1:

y1 = (80/60) * (-30/7 * √3) + h.

Упростим выражение:

y1 = -40/7 * √3 + h.

Таким образом, минимальное расстояние между двумя машинами будет равно |y1| = |-40/7 * √3 + h|. Подставим значение h:

|min distance| = |-40/7 * √3 + 25 * √3 / 2| = |(-40/7 + 25/2) * √3| = |(-80 + 175) / 14 * √3| = |95/14 * √3| = 15 * √3 / 2.

Так как варианты ответов даны в виде десятичных дробей, приведем полученный результат к десятичному виду:

min distance = 15 * √3 * 0.5 ≈ 6.5.

Теперь можем поделить полученную минимальную дистанцию на разницу скоростей машин и найти время:

time = 6.5 / (80 - 60) ≈ 0.325.

Итак, через примерно 0.325 часа (или 0.325 * 60 ≈ 19.5 минут) расстояние между машинами будет наименьшим. Ответ: 3/29 часа.