Question

Помогите решить√1-x^2 dy - x√1-y^2dx=0

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{1 - {x}^{2} } dy - x \sqrt{1 - {y}^{2} } dx = 0 \\ \sqrt{1 - {x}^{2} } dy = x \sqrt{1 - {y}^{2} } dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{1 - {y}^{2} } } = \int\limits \frac{xdx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } = \\ = arcsin(y) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{( - 2x)dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } \\ arcsin(y) = - \frac{1}{2} \int\limits {(1 - {x}^{2}) }^{ - \frac{1}{2} } d(1 - {x}^{2} ) \\ arcsin(y) = - \frac{1}{2} \times \frac{ {(1 - {x}^{2} )}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + c \\ arcsin(y) = - \sqrt{1 - {x}^{2} } + c$

общее решение

Answer 2

Это дифференциальное уравнение выглядит как уравнение Бернулли, которое можно преобразовать в линейное дифференциальное уравнение путем замены переменной. Давайте начнем.

Пусть $v = \sqrt{1 - x^2}$, тогда $dv = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx$. Заменим эти выражения в исходном уравнении:

$\sqrt{1 - x^2}\frac{dy}{dx} + x\sqrt{1 - y^2} = 0$

$-v\frac{dy}{dx} - xv = 0$

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение. Разделим оба выражения на $-v$:

$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{v}y = 0$

Это уравнение можно решить, используя метод интегрирующего множителя. Найдем множитель, умножив оба выражения на $\frac{1}{v}$:

$\frac{1}{v}\frac{dy}{dx} + \frac{x}{v^2}y = 0$

Теперь левая часть является производной от $\frac{y}{v}$ по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{v}\right) = 0$

Интегрируя это выражение, получим:

$\frac{y}{v} = C$

где $C$ - произвольная постоянная. Теперь можно решить это уравнение относительно $y$:

$y = Cv$

Вспомним, что $v = \sqrt{1 - x^2}$:

$y = C\sqrt{1 - x^2}$

Таким образом, решением исходного дифференциального уравнения является $y = C\sqrt{1 - x^2}$, где $C$ - произвольная постоянная.