Question

Докажите, что если a^2 + pa + q = 0 и b^2 - pb - q = 0, где q != 0, то уравнение x^2 + 2px + 2q = 0 имеет корень, заключённый между числами числами a и b.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим следующее.

У нас есть два уравнения:

1. $a^2 + pa + q = 0$
2. $b^2 - pb - q = 0$

Добавим эти уравнения:

$a^2 + pa + q + b^2 - pb - q = 0$

Теперь объединим подобные члены:

$(a^2 + b^2) + p(a - b) - q - q = 0$

Сгруппируем элементы:

$(a^2 + b^2) + p(a - b) - 2q = 0$

Теперь мы имеем уравнение вида:

$x^2 + 2px - 2q = 0$

Сравнивая это уравнение с $x^2 + 2px + 2q = 0$, видим, что единственная разница между ними заключается в знаке второго члена. Это значит, что если уравнение $x^2 + 2px + 2q = 0$ имеет корень $x_1$, то уравнение $x^2 + 2px - 2q = 0$ имеет корень $x_2 = -x_1$.

Теперь, если $a$ и $b$ - корни уравнений (1) и (2) соответственно, то мы можем сказать, что у нас есть корень $x_1$ уравнения $x^2 + 2px + 2q = 0$ такой, что $a < x_1 < b$, так как $x_2 = -x_1$ будет корнем уравнения $x^2 + 2px - 2q = 0$, и $b < x_2 < a$.

Таким образом, мы доказали, что уравнение $x^2 + 2px + 2q = 0$ имеет корень, заключённый между числами $a$ и $b$, если $a^2 + pa + q = 0$ и $b^2 - pb - q = 0$, где $q \neq 0$.