Question

Решить интеграл методом подстановки dx/(x*(1+lnx))

Answer 1

Ответ:

$∫ \frac{dx}{x \times (1 + ln(x)) } = ∫ \frac{1}{x} \times \frac{dx}{1 + ln(x) } = ∫ \frac{d( ln(x)) }{1 + ln(x) } = ∫ \frac{( ln(x) + 1)}{ ln(x) + 1} = ln( ln(x) + 1) + c$

Answer 2

Для решения данного интеграла методом подстановки мы начнем с выбора подходящей замены. Для этого давайте попробуем воспользоваться следующей заменой:

$u = 1 + \ln(x)$

Теперь мы можем выразить $dx$ через $du$:

$du = \frac{1}{x}dx$

Таким образом, интеграл принимает следующий вид:

$\int\frac{dx}{x(1+\ln(x))} = \int\frac{du}{u}$

Теперь это стандартный интеграл от $1/u$, который можно легко решить:

$\int\frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Теперь вернемся к переменной $x$, используя исходную замену $u = 1 + \ln(x)$:

$\ln|u| + C = \ln|1 + \ln(x)| + C$

Это и есть окончательный ответ на ваш интеграл:

$\int\frac{dx}{x(1+\ln(x))} = \ln|1 + \ln(x)| + C$

Где $C$ - произвольная константа интегрирования.