Question

Найти производную функции а)y=arctg√3-x/x-2 б)y=(cos x)^x^2 д) x-y+e^x arctg x=0 буду благодарна))

Answer 1

Ответ:

а)

$y = arctg( \sqrt{ \frac{3 - x}{x - 2} } )$

$y '= \frac{1}{1 + \frac{3 - x}{x - 2} } \times \frac{1}{2} \times {( \frac{3 - x}{x - 2}) }^{ - \frac{1}{2} } \times \\ \times \frac{ - 1(x - 2) - (3 - x)}{ {(x - 2)}^{2} } = \\ = \frac{x - 2}{x - 2 + 3 - x} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{ \frac{x - 2}{3 - x} } \times \frac{ - x + 2 - 3 + x}{ {(x - 2)}^{2} } = \\ = \frac{(x - 2 )\sqrt{x - 2} }{2 \sqrt{3 - x} } \times \frac{( - 1)}{ {(x - 2)}^{2} } = \\ = - \frac{1}{2 \sqrt{(3 - x)(x - 2)} }$

б)

$y= {( \cos(x)) }^{ {x}^{2} }$

фориула:

$y '= ( ln(y))' \times y$

$( ln(y)) ' = (ln( { \cos(x) }^{ {x}^{2} })' = ( {x}^{2} \times ln( \cos(x)) )' = \\ = 2x ln( \cos(x) ) + {x}^{2} \times \frac{1}{ \cos(x) } \times ( - \sin(x)) = \\ = 2x ln( \cos(x) ) - {x}^{2} \tg(x)$

$y' = { ( \cos(x) )}^{ {x}^{2} } \times (2x ln( \cos(x) ) - {x}^{2} \tg(x))$

в)

$x - y + {e}^{x} arctgx = 0$

$1 - y' + {e}^{x} arctgx + \frac{ {e}^{x} }{1 + {x}^{2} } = 0 \\ y' = 1 + {e}^{x} arctgx + \frac{ {e}^{x} }{1 + {x}^{2} }$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

а) y = arctg(√3 - x) / (x - 2)

Для нахождения производной этой функции используем правило деления. Пусть u(x) = arctg(√3 - x) и v(x) = x - 2. Тогда

y'(x) = (u/v)' = (u'v - uv') / v^2,

где u' и v' - производные функций u и v соответственно.

u'(x) = d/dx(arctg(√3 - x)) = -1 / (1 + (√3 - x)^2)

v'(x) = d/dx(x - 2) = 1

Теперь мы можем найти производную y'(x):

y'(x) = (-1 / (1 + (√3 - x)^2) * (x - 2) - arctg(√3 - x) * 1) / (x - 2)^2

b) y = (cos(x))^x^2

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть u(x) = cos(x) и v(x) = x^2. Тогда

y'(x) = (u^v)' = (v'u^(v-1)),

где u' - производная функции u(x), а v' - производная функции v(x).

u'(x) = d/dx(cos(x)) = -sin(x)

v'(x) = d/dx(x^2) = 2x

Теперь мы можем найти производную y'(x):

y'(x) = 2x * cos(x)^(x^2 - 1) * (-sin(x))

c) x - y + e^x * arctg(x) = 0

Чтобы найти производную этого уравнения, нужно дифференцировать обе стороны по x:

d/dx(x) - d/dx(y) + d/dx(e^x * arctg(x)) = 0

1 - dy/dx + (e^x * (1/(1 + x^2))) = 0

Теперь можно выразить dy/dx:

dy/dx = 1 + (e^x * (1/(1 + x^2)))

Таким образом, найдены производные данных функций:

а) y' = (-1 / (1 + (√3 - x)^2) * (x - 2) - arctg(√3 - x) * 1) / (x - 2)^2

b) y' = 2x * cos(x)^(x^2 - 1) * (-sin(x))

c) dy/dx = 1 + (e^x * (1/(1 + x^2)))