Question

Помогите решить пожалуйста) У"-4у’=0

Answer 1

Ответ: y=1/4*C1*e^(4*x)+C2, где C1≠0, С2 - произвольная постоянная.

Пошаговое объяснение:

Так как данное ДУ не содержит функции y, то положим y'=z. Тогда y"=z' и уравнение принимает вид: z'-4*z=0, или dz/dx=4*z, или dz/z=4*dx. Интегрируя обе части, находим ln/z/=4*x+ln/C1/, где C1 - произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда z/C1=e^(4*x) и z=C1*e^(4*x). А так как z=dy/dx, то получаем уравнение dy/dx=C1*e^(4*x) и dy=C1*e^(4*x)*dx. Интегрируя, находим y=C1*∫e^(4*x)*dx=1/4*C1*e^(4*x)+C2, где C2 - произвольная постоянная. Проверка: y'=1/4*4*C1*e^(4*x)=C1*e^(4*x), y"=4*C1*e^(4*x), y"-y'=0 - решение найдено верно.

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения, вы можете использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

У"-4у' = 0

Сначала выразите производную у'(y-применено здесь как штрих) относительно у:

у' = 4у"/4

Теперь вы можете переписать уравнение следующим образом:

у" - у'/4 = 0

Теперь вы можете использовать метод разделения переменных:

у" = у'/4

Разделим обе стороны уравнения на у':

(у"/у') = 1/4

Теперь интегрируйте обе стороны:

∫(у"/у') dy = ∫(1/4) dx

ln|у'| = (1/4)x + C1

Теперь возьмите экспоненту от обеих сторон:

|у'| = e^((1/4)x + C1)

Теперь уберем модуль:

у' = ±e^((1/4)x + C1)

Мы можем представить правую сторону как произведение двух функций:

у' = ±e^(C1) * e^((1/4)x)

Используя произвольную константу C2 = ±e^(C1), мы можем записать это уравнение как:

у' = C2 * e^((1/4)x)

Теперь интегрируйте это уравнение относительно x:

∫(1/C2) dy = ∫e^((1/4)x) dx

(1/C2)y = (4/ln(4))e^((1/4)x) + C3

Теперь можно выразить у(y) и учесть постоянные:

y = C2 * (4/ln(4))e^((1/4)x) + C3 * C2

y = C4e^((1/4)x) + C3 * C2

Здесь C4 = C2 * (4/ln(4)) - это константа, и C3 * C2 - это другая константа.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C4e^((1/4)x) + C3 * C2

где C2, C3 и C4 - произвольные константы.