Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) проведена биссектриса ВL. При чём BL=BC-AL. Наайдите углы треугольрика АВС.

Answer 1

Ответ:

обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d,

угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)

угол при вершине BAC=(180-4альфа)

и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...

угол ALB=(3альфа)

по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)

отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) =

= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)

по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )

для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)

отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) =

=4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)

если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:

sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:

2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)

это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...)))одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2

но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))

если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)

это угол около 20 градусов

тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим угол ABC как α. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC также равен α.

Теперь обратим внимание на то, что BL=BC-AL. Так как AL - это длина биссектрисы, то она делит угол BAC на два равных угла, поэтому угол BAL равен углу CAL, и обозначим их оба как β.

Теперь у нас есть следующие данные:

1. Угол ABC = α.
2. Угол BAC = α.
3. Угол BAL = β.
4. Угол CAL = β.
5. BL = BC - AL.

Теперь мы можем использовать факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Для треугольника ABC это означает:

α + α + β + β + BL + AL = 180°.

Используя информацию о том, что AL - это биссектриса, и угол BAL = β, мы можем записать:

2α + 2β + BL + AL = 180°.

Теперь мы можем использовать информацию о BL = BC - AL:

2α + 2β + (BC - AL) + AL = 180°.

AL сокращается, и у нас остается:

2α + 2β + BC = 180°.

Теперь мы можем разделить уравнение на 2:

α + β + BC/2 = 90°.

Но мы также знаем, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, поэтому:

α + α + β + β + BC/2 = 180°.

2α + 2β + BC/2 = 180°.

2(α + β) + BC/2 = 180°.

2(α + β) + BC = 360°.

Теперь мы можем объединить оба уравнения:

α + β + BC/2 = 90°, 2(α + β) + BC = 360°.

Выразим α + β из первого уравнения: α + β = 90° - BC/2.

Подставим это значение во второе уравнение:

2(90° - BC/2) + BC = 360°.

Упростим:

180° - BC + BC = 360°.

BC сокращается, и остается:

180° = 360°.

Это уравнение не имеет решений. Следовательно, такой треугольник не может существовать. Вероятно, в задаче допущена ошибка, и она не имеет физического решения.