Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) проведена биссектриса ВL. При чём BL=BC-AL. Наайдите углы треугольрика АВС.

Answer 1

Ответ:

обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d,

угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)

угол при вершине BAC=(180-4альфа)

и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...

угол ALB=(3альфа)

по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)

отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) =

= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)

по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )

для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)

отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) =

=4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)

если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:

sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:

2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)

это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...)))одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2

но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))

если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)

это угол около 20 градусов

тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100

Answer 2

Давайте обозначим угол ABC как B, а угол ACB как C. Также обозначим длину BC как "x". Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то угол BAC (то есть угол между биссектрисой BL и стороной AC) также равен B.

Согласно условию задачи, BL = BC - AL. Так как BL - это длина биссектрисы, она делит угол BAC пополам. То есть, угол BAL (угол между BL и AL) равен половине угла BAC, то есть B/2. Таким образом, мы можем записать:

BL = BC - AL BL = x - AL

Так как угол BAL равен B/2, то мы можем записать три уравнения на основе углов в треугольнике ABC:

1. Угол BAL = B/2
2. Угол ABL + Угол BAL + Угол BAC = 180 градусов (сумма углов в треугольнике)
3. Угол ABL + Угол BAC + Угол ACB = 180 градусов (сумма углов в треугольнике)

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы решить задачу.

1. B/2 = B/2 (так как BAL = B/2)
2. Угол ABL + B/2 + B = 180 градусов (подставляем значения углов)
3. Угол ABL + B + C = 180 градусов (так как ACB = C)

Теперь мы можем объединить уравнения (2) и (3):

Угол ABL + B/2 + B = Угол ABL + B + C

Угол B/2 = B + C

Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла B:

B/2 = B + C

Умножим обе стороны на 2:

B = 2B + 2C

Теперь выразим угол C через угол B:

B = 2B + 2C 2C = B - 2B 2C = -B C = -B/2

Теперь у нас есть выражения для углов B и C через угол B. Давайте используем факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

B + C + B = 180

Подставим выражения для B и C:

B + (-B/2) + B = 180

Теперь решим это уравнение:

2B - B/2 = 180

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

4B - B = 360

3B = 360

B = 360 / 3

B = 120

Таким образом, угол B равен 120 градусов. Теперь мы можем найти угол C:

C = -B/2 C = -(120/2) C = -60

Угол C равен -60 градусов. Однако угол не может быть отрицательным, поэтому мы допустим ошибку в задаче или в решении. Если угол C должен быть положительным, то треугольник с заданными условиями невозможен.