Question

Вычислить интеграл 1/(2-3x)^4 dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int {\frac{1}{(2-3x)^4}} \, dx = -\frac{1}{3} \int {\frac{1}{(2-3x)^4}} \, d(2-3x) = -\frac{1}{3}*(-\frac{1}{3})*\frac{1}{(2-3x)^3} = \frac{1}{9}*\frac{1}{(2-3x)^3}$

Думаю основные проблемы возникли именно к сведению интеграла к табличному, поэтому объясню только этот момент:

1)Внутри дифференциала мы можем добавлять и отнимать любую константу, потому что она никак не влияет на дифференциал, поэтому мы имеем право просто добавить 2

2) Мы можем вынести коэффициент из-под дифференциала, в нашем случае мы вынесли -1/3  и получили -3x под знаком дифференциала.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, вам потребуется использовать метод замены переменной. Начнем с замены:

Пусть u = 2 - 3x, тогда du/dx = -3 и dx = du / (-3).

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах переменной u:

∫(1/(2-3x)^4) dx = ∫(1/u^4) * (du / -3)

Теперь мы можем вынести константу (-1/3) за знак интеграла:

(-1/3) ∫(1/u^4) du

Теперь вычислим этот интеграл:

(-1/3) * ∫u^(-4) du

Теперь используем степенное правило интегрирования:

(-1/3) * (u^(-3) / (-3)) + C

Теперь вернемся к переменной x, используя исходную замену u = 2 - 3x:

(-1/3) * ((2 - 3x)^(-3) / (-3)) + C

Итак, окончательный ответ:

(1/9) * (2 - 3x)^(-3) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.