Question

Вычислить неопределённый интеграл ∫(x+5)dx/x^2+2x-3

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{(x + 5)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 }$

В числителе делаем производную знаменателя: 2х+2

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 10)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2 + 8) dx}{ {x}^{2} + 2x - 3} = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2 - 3 } + \frac{8}{2} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 }$

получили два интеграла.

Первый интеграл

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2x - 3 } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 2x - 3) }{ {x}^{2} + 2x - 3 } = \\ = \frac{1}{2} ln( {x}^{2} + 2 - 3) + c$

Второй интеграл

Выделим квадрат суммы в знаменателе

${x}^{2} + 2x - 3 = {x}^{2} + 2x + 4 - 7 = \\ = {(x + 2)}^{2} - 7 = {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7}) }^{2}$

$\frac{8}{2} \int\limits \frac{dx}{ {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7} )}^{2} } = 4\int\limits \frac{d(x + 2)}{ {(x + 2)}^{2} - {( \sqrt{7}) }^{2} } = \\ = 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c = \frac{2}{ \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c$

Собираем, получаем:

$\frac{1}{2} ln( {x}^{2} + 2x - 3) + \frac{2}{ \sqrt{7} } ln( \frac{x + 2 - \sqrt{7} }{x + 2 + \sqrt{7} } ) + c$

Answer 2

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом частичных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

∫(x+5)/(x^2+2x-3) dx = ∫(x+5)/((x+3)(x-1)) dx

Теперь представим дробь как сумму двух частичных дробей:

(x+5)/((x+3)(x-1)) = A/(x+3) + B/(x-1)

Чтобы найти значения коэффициентов A и B, можно выполнить разложение на общий знаменатель:

x+5 = A(x-1) + B(x+3)

Теперь подставим в это уравнение значения x, которые сделают одну из скобок равной нулю, чтобы найти коэффициенты A и B.

1. Подставим x = 1: 1 + 5 = A(1 - 1) + B(1 + 3) 6 = 4B B = 6/4 = 3/2

2. Подставим x = -3: -3 + 5 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) 2 = -4A A = -2/4 = -1/2

Теперь, когда мы нашли значения коэффициентов A и B, можем записать разложение дроби:

(x+5)/((x+3)(x-1)) = (-1/2)/(x+3) + (3/2)/(x-1)

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫(x+5)/((x+3)(x-1)) dx = ∫((-1/2)/(x+3) + (3/2)/(x-1)) dx

Интегрируя каждую из частей по отдельности, получаем:

∫(-1/2)/(x+3) dx = (-1/2) * ln|x+3| + C1

∫(3/2)/(x-1) dx = (3/2) * ln|x-1| + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы интегрирования.

Теперь объединим результаты:

∫(x+5)/(x^2+2x-3) dx = (-1/2) * ln|x+3| + (3/2) * ln|x-1| + C

Где C = C1 + C2 - произвольная константа интегрирования.