Question

вычислите объем фигуры образованной вращением площади ограниченной заданными линиями у^2=2x y=0 x=2 x=4

Answer 1

Ответ:

Не знаю правильно но так получилось...

Пошаговое объяснение:

Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями. y2 = 4x; y = 0; x = 4. Пределы интегрирования a = 0, b = 4. Пример №2. y2 = 4x; y = x. Выполним построение фигуры. Решим систему: y2 = 4x y = x найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0)

Answer 2

Для вычисления объема фигуры, образованной вращением заданной площади вокруг оси x, можно использовать метод цилиндров. Мы можем разделить данную фигуру на бесконечно малые цилиндрические слои, вычислить объем каждого слоя и затем проинтегрировать их, чтобы получить итоговый объем фигуры.

Для этой задачи у нас есть две кривые: y = 0, x = 2 и x = 4, а также кривая y^2 = 2x.

Сначала найдем точки пересечения кривой y^2 = 2x с вертикальными линиями x = 2 и x = 4:

1. При x = 2: y^2 = 2 * 2 y^2 = 4 y = ±2

2. При x = 4: y^2 = 2 * 4 y^2 = 8 y = ±2√2

Таким образом, кривая y^2 = 2x пересекает вертикальные линии x = 2 и x = 4 в следующих точках: (2, 2), (2, -2), (4, 2√2) и (4, -2√2).

Теперь мы можем записать выражение для радиуса цилиндрического слоя на отрезке между вертикальными линиями x = 2 и x = 4. Радиус цилиндрического слоя в зависимости от x будет равен расстоянию от вертикальной линии x до кривой y^2 = 2x. Это расстояние будет равно x, так как y^2 = 2x можно записать как y = √(2x), и расстояние от x до кривой будет равно x.

Теперь мы можем интегрировать объем от x = 2 до x = 4:

V = ∫[2, 4] π * (радиус)^2 * dx V = ∫[2, 4] π * x^2 * dx

Вычислим интеграл:

V = π * [x^3 / 3] |[2, 4] V = π * [(4^3 / 3) - (2^3 / 3)] V = π * [(64 / 3) - (8 / 3)] V = π * (56 / 3)

Таким образом, объем фигуры, образованной вращением заданной площади, равен (56π / 3) кубических единиц.