Question

Найти производную функции u=3x⁴-xy+y² в точке Мₒ(1;2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

производная функции u = 3x⁴-xy+y² в точке Мₒ(1;2) в направлении L, составляющем с осью OX угол в 60

имеет вид

$\frac{du}{dL} = u'_x(x_0;y_0)cos\alpha +u'_y(x_0;y_0)cos\beta$

∠α -угол с осью ОХ. ∠α = 60°; cosα = 1/2

∠β -угол с осью ОY. ∠β = 30°; cosβ = √3/2

$u'_x=12x^3-y;$    $u'_x(1;2)=12*1^3-2;$

$u'_y=-x+2y;$     $u'_y(1;2) = -1+2*2 = 3$

и теперь считаем нашу производную по направлению L в точке Мₒ(1;2)

$\frac{du}{dL} =10*\frac{1}{2} +3*\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{10+3\sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $u = 3x^4 - xy + y^2$ в точке $M_0(1, 2)$ в направлении, составляющем с осью $OX$ угол в 60 градусов, мы будем использовать градиент функции и направление вектора.

Градиент функции $u$ вычисляется как вектор, состоящий из частных производных функции по переменным $x$ и $y$:

$$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right)$$

Теперь вычислим частные производные:

1. $\frac{\partial u}{\partial x}$: Возьмем производную по $x$ каждого члена функции:

   $\frac{\partial}{\partial x}(3x^4 - xy + y^2) = 12x^3 - y$

2. $\frac{\partial u}{\partial y}$: Возьмем производную по $y$ каждого члена функции:

   $\frac{\partial}{\partial y}(3x^4 - xy + y^2) = -x + 2y$

Теперь найдем градиент $\nabla u$ в точке $M_0(1, 2)$:

$\nabla u(1, 2) = \left(12(1)^3 - 2, -1 + 2(2)\right) = \left(10, 3\right)$

Теперь найдем вектор, который составляет угол 60 градусов с осью $OX$. Для этого воспользуемся единичным вектором $\mathbf{v}$, который можно получить из угла 60 градусов:

$\mathbf{v} = \cos(60^\circ)\mathbf{i} + \sin(60^\circ)\mathbf{j} = \frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j}$

Теперь мы можем вычислить производную функции $u$ в направлении вектора $\mathbf{v}$ в точке $M_0(1, 2)$:

$$\frac{du}{ds} = \nabla u(1, 2) \cdot \mathbf{v} = \left(10, 3\right) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 10 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, производная функции $u$ в точке $M_0(1, 2)$ в направлении, составляющем с осью $OX$ угол в 60 градусов, равна $5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}$.