Question

Комплексные числа. 1) Как располагаются четверти на окружности?2) Какие формулы применяются в соответствии с четвертью для определения высчитывания угла?3) Какие формулы в общем нужно знать для решения задач?Решите задачу: записать комплексное число 2-2i в тригонометрической форме. ПОДРОБНО!!!​

Answer 1

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти - синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти - все четыре функции будут положительны.

задача:

$2 \sqrt{2} (cos( - \frac{\pi}{4} ) + i \: sin \: ( - \frac{\pi}{4} ) \: )$

$2 \sqrt{2} e {}^{i( - \frac{\pi}{4}) }$

Answer 2

Комплексные числа представляются в виде a + bi, где "a" и "b" - это действительная и мнимая части соответственно. Однако, они также могут быть представлены в тригонометрической форме для удобства выполнения различных операций. Давайте рассмотрим ваши вопросы более подробно:

1. Как располагаются четверти на окружности? В комплексной плоскости (комплексной числовой плоскости) четверти располагаются следующим образом:

   • Первая четверть: Действительная часть (a) положительна, а мнимая часть (b) также положительна.
   • Вторая четверть: Действительная часть (a) отрицательна, а мнимая часть (b) положительна.
   • Третья четверть: Действительная часть (a) отрицательна, а мнимая часть (b) также отрицательна.
   • Четвертая четверть: Действительная часть (a) положительна, а мнимая часть (b) отрицательна.

   Это разделение на четверти аналогично разделению квадрантов на координатной плоскости.

2. Какие формулы применяются в соответствии с четвертью для определения вычисления угла? Для определения угла (аргумента) комплексного числа в тригонометрической форме в зависимости от четверти, вы можете использовать следующие формулы:

   • Первая четверть: θ = arctan(b/a)
   • Вторая четверть: θ = π - arctan(|b|/a)
   • Третья четверть: θ = -π + arctan(|b|/a)
   • Четвертая четверть: θ = -arctan(b/|a|)

3. Какие формулы в общем нужно знать для решения задач? Для решения задач с комплексными числами полезны следующие формулы:

   • Преобразование комплексного числа в тригонометрическую форму: Z = r * (cos(θ) + i * sin(θ)) Где r - модуль комплексного числа (|Z|), θ - аргумент комплексного числа (угол).

   • Модуль комплексного числа (абсолютное значение): |Z| = √(a² + b²)

   • Аргумент комплексного числа: θ = arctan(b/a)

Теперь решим вашу задачу: записать комплексное число 2 - 2i в тригонометрической форме.

1. Найдем модуль числа: |2 - 2i| = √((2)² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

2. Найдем аргумент числа: θ = arctan((-2)/2) = arctan(-1) = -π/4

3. Теперь мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме: 2 - 2i = 2√2 * (cos(-π/4) + i * sin(-π/4))

Это и есть представление числа 2 - 2i в тригонометрической форме.