Question

Даю 25 баллов за решение! 1) Известно, что sin α = 0,8, причем угол α оканчивается во 2-й четверти. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2α. 2) Найти tg 2α и cos 2α, если известно, что угол α оканчивается не в 1-й четверти и tg α = 4/3. 3) Найти cos α, если sin α = 0,1 и угол α оканчивается в 4-й четверти.

Answer 1

1) Дано:

sin a = 0,8

90° ≤ a ≤ 180°

Найти: cos a, tg a, ctg a

Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin²a+cos²a = 1

и выразим косинус cos a = √(1- sin²a).

Т.к. 90° ≤ a ≤ 180°,то косинус будет отрицательным

$\cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - ( {0.8})^{2} } = - \sqrt{ \frac{25 - 16}{25} } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5} = - 0.6$

Из-за отрицательного косинуса и тангенс, и косинуса тоже будут отрицательными

$tg( \alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) }$

$tg( \alpha ) = \frac{4}{5} \div ( - \frac{3}{5} ) = - \frac{4}{3}$

$ctg( \alpha ) = {(tg( \alpha ))}^{ - 1}$

$ctg( \alpha ) = ( - { \frac{4}{3} })^{ - 1} = - \frac{3}{4}$

2) Дано:

tg a =4/3

180° ≤ a ≤ 270° (т.к. тангенс положительный только в 1 и 3 четвертях)

Найти: tg 2a, ctg 2a

Решение:

$tg(2 \alpha ) = \frac{2tg( \alpha )}{1 - {tg}^{2} \alpha }$

$tg( 2\alpha ) = (2 \times \frac{4}{3} ) \div (1 - ( { \frac{4}{3} })^{2}) = \frac{8}{3} \div ( \frac{9 - 16}{9} ) = \frac{8}{3} \div ( - \frac{7}{9} ) = - \frac{24}{7}$

$ctg(2 \alpha ) = (tg(2 \alpha ))^{ - 1}$

$ctg(2 \alpha ) = ( - \frac{24}{7} ) ^{ - 1} = - \frac{7}{24}$

3) Дано:

sin a = 0,1

270° ≤ a ≤ 360°

Найти: cos a

Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin²a+cos²a = 1

и выразим косинус cos a = √(1- sin²a).

Т.к. 270° ≤ a ≤ 360°,то косинус будет положительным

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - ( {0.1})^{2} } = \sqrt{ \frac{100 - 1}{100} } = \sqrt{ \frac{99}{100} } = \frac{ \sqrt{99} }{10}$

Answer 2

1. Известно, что sin(α) = 0,8 и угол α оканчивается во 2-й четверти. Во-первых, мы можем найти косинус α, используя тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1:

cos²(α) = 1 - sin²(α) cos²(α) = 1 - 0,8² cos²(α) = 1 - 0,64 cos²(α) = 0,36

cos(α) = ±√0,36 cos(α) = ±0,6

Поскольку угол α находится во 2-й четверти, то cos(α) отрицателен, поэтому:

cos(α) = -0,6

Теперь мы можем найти тангенс α, используя определение тангенса как отношения синуса к косинусу:

tan(α) = sin(α) / cos(α) tan(α) = 0,8 / (-0,6) tan(α) = -4/3

Также мы можем найти котангенс α, который обратно пропорционален тангенсу:

cot(α) = 1 / tan(α) cot(α) = 1 / (-4/3) cot(α) = -3/4

Теперь мы можем перейти ко второму вопросу.

2. У нас известно, что угол α не оканчивается в 1-й четверти и tg(α) = 4/3. Таким образом, угол α находится во 2-й, 3-й или 4-й четверти. Так как tg(α) положителен, угол α находится во 1-й или 3-й четверти. Но так как он не оканчивается в 1-й четверти, то α находится в 3-й четверти.

Теперь мы можем использовать формулу для тангенса угла вдвое большего угла:

tg(2α) = (2 * tg(α)) / (1 - tg²(α)) tg(2α) = (2 * (4/3)) / (1 - (4/3)²) tg(2α) = (8/3) / (1 - 16/9) tg(2α) = (8/3) / (9/9 - 16/9) tg(2α) = (8/3) / (-7/9) tg(2α) = -(8/3) * (9/7) tg(2α) = -24/7

Теперь давайте найдем косинус угла вдвое большего угла с использованием формулы для косинуса угла вдвое большего угла:

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) cos(2α) = (cos(α))² - (sin(α))² cos(2α) = (-0,6)² - (0,8)² cos(2α) = 0,36 - 0,64 cos(2α) = -0,28

3. Известно, что sin(α) = 0,1 и угол α оканчивается в 4-й четверти. Так как угол оканчивается в 4-й четверти, sin(α) положителен, и мы можем использовать тот факт, что sin²(α) + cos²(α) = 1:

sin²(α) + cos²(α) = 1 (0,1)² + cos²(α) = 1 0,01 + cos²(α) = 1

Теперь найдем cos²(α):

cos²(α) = 1 - 0,01 cos²(α) = 0,99

cos(α) = ±√0,99 cos(α) = ±0,994

Поскольку угол находится в 4-й четверти, то cos(α) положителен, поэтому:

cos(α) = 0,994

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.