Question

Найдите количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63.

Answer 1

Ответ:

Всего 551013 чисел

Пошаговое объяснение:

Всего шестизначных чисел (от 100000 до 999999):

999999 - 100000 + 1 = 900000

Уберем "лишние" числа (произведение цифр которых не делится на 63). Заметим, что такие числа не содержат в цифрах нулей!

1) Это все числа в которых отсутствует цифра 7. Таких чисел 8⁶ (в каждом из 6 разрядов может стоять любая из 8 цифр - 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9). Пусть A - множество таких чисел.

2) Числа, в которых нет 3; 6; 9. Таких чисел 6⁶ (в каждом из 6 разрядов может стоять любая из 6 цифр - 1; 2; 4; 5; 7; 8). Пусть B - множество таких чисел.

3) Числа, которые содержат 3 или 6 (но не 3 и 6), причем одну, и не содержат 9. Чисел, содержащих только одну 3 и не содержащих 6, будет столько же, сколько чисел, содержащих только одну 6 и не содержащих 3, а именно 6 · 6⁵ (сначала расставляем на любое из 6 мест 3 или 6, а затем на оставшиеся 5 мест 1; 2; 4; 5; 7; 8). Всего их будет 2 · 6 · 6⁵ = 2 · 6⁶. Пусть C - множество таких чисел.

Замечаем, что множествами A, B и C исчерпываются все числа, которые нам надо исключить.

Нам необходимо подсчитать количество элементов в объединении множеств A, B и C. То есть, согласно формуле включений и исключений:

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Сразу замечаем, что  n(B∩C) = 0 ⇒ n(A∩B∩C) = 0

n(A∩B) = 5⁶ (числа без цифр 3; 6; 7; 9)

n(A∩C) = 2 · 6 · 5⁵ (рассуждения как и при подсчете множества C, только ещё и без 7, поэтому не 6⁵, а 5⁵).

В итоге получаем:

n(A∪B∪C) = 8⁶ + 6⁶ + 2 · 6⁶ - 5⁶ - 2 · 6 · 5⁵ = 8⁶ + 3 · 6⁶ -  5⁶ - 12 · 5⁵ = 348987

В итоге получаем:

900000 - 348987 = 551013

Answer 2

Чтобы найти количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63, мы можем разбить задачу на несколько шагов:

1. Произведение цифр, делится на 63, значит, что произведение должно быть кратным 63. 63 можно разложить на простые множители: 63 = 3 * 3 * 7.

2. Чтобы произведение цифр числа было кратным 3, сумма цифр должна быть кратной 3. Это также применимо для произведения цифр, которое делится на 63.

3. Чтобы произведение цифр числа было кратным 7, число должно содержать хотя бы одну 7.

Теперь мы можем разбить наш поиск на несколько случаев:

• Случай 1: Числа, в которых нет 7. В этом случае, произведение цифр может быть только кратным 3.

  • Сумма цифр числа 6-значного числа равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, что кратно 3.

  Таким образом, все 6-значные числа, в которых нет 7 и произведение цифр кратно 3, удовлетворяют условию.

• Случай 2: Числа, в которых есть хотя бы одна 7.

  • В этом случае мы можем выбрать одну из цифр как 7, и оставшиеся 5 цифр должны образовать число, произведение которого кратно 9 (так как 7 * 9 = 63).

  • Сумма оставшихся 5 цифр должна быть кратной 3, чтобы произведение было кратным 9.

  Таким образом, сначала мы выбираем одну 7 (6 вариантов), а затем находим количество способов выбрать 5 цифр, сумма которых кратна 3 и их произведение кратно 9.

Общее количество таких чисел будет равно сумме результатов из обоих случаев.

• Случай 1: Все 6-значные числа без 7 (произведение цифр кратно 3).

  Всего 6-значных чисел без 7: 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 = 531,441.

• Случай 2: Числа с 7 и суммой 5 цифр, кратной 3 (произведение цифр кратно 9).

  Всего способов выбрать 5 цифр, сумма которых кратна 3: C(6, 5) = 6 (так как мы выбираем одну 7).

  Теперь мы должны найти количество способов выбрать 5 цифр из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, сумма которых также кратна 3 и произведение кратно 9. Это сложная задача, и её решение потребует анализа разных случаев. Однако можно заметить, что среди чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} есть только две цифры, которые кратны 3 (3 и 9). Таким образом, чтобы сумма 5 выбранных цифр была кратной 3, нужно выбрать 2 цифры, которые кратны 3, и 3 цифры, которые не кратны 3.

  • Способы выбрать 2 цифры из {3, 9}: C(2, 2) = 1.
  • Способы выбрать 3 цифры из {1, 2, 4, 5, 6, 8}: C(6, 3) = 20.

  Теперь у нас есть 1 * 20 = 20 способов выбрать 5 цифр с заданными условиями для каждой комбинации седьмой цифры (7). Так как у нас есть 6 вариантов для седьмой цифры, общее количество чисел в этом случае равно 6 * 20 = 120.

Теперь сложим результаты из обоих случаев:

531,441 (случай 1) + 120 (случай 2) = 531,561.

Итак, общее количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63, составляет 531,561.