Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченными линиями y= -x^2 + 1 , y=x+1 с чертежом , спасибо за ранее )

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁= -x² + 1;   y₂=x+1

строим график.

теперь пределы интегрирования как Вам понравится, так и считайте

а) по графтку х изменяется от -1 до 0

б) через уравнение у₁=у₂;  -х²+1=х+1;  -х² +1 -х -1=0; -х(х+1)=0; ⇒х₁ = -1; х₂=0

теперь формула.

$\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$     здесь есть одна хитрость. чтобы не получить отрицательную площадь, (хотя это и не страшно, просто ответ дается без знака минус, но это как-то не прилично), так вот, чтобы не получить отрицательное значение интеграла, за у₁ принимается функция, которая на графике располагается "выше". у нас это у = -х² + 1

(y₁ - y₂) = -x² + 1- x-1= -x² - x =

и вот теперь площадь

$S = \int\limits^0_{-1} {(-x^2-x)} \, dx = \int\limits^0_{-1} {(-x^2)} \, dx+ \int\limits^0_{-1} {(-x)} \, dx=-\frac{x^3}{3} I_{-1}^0 +(-\frac{x^2}{2}) I_{-1}^0=$

$=-\frac{1}{3} +\frac{1}{2} =\frac{1}{6}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 1 и y = x + 1, вам нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл площади между этими точками. Сначала найдем точки пересечения:

1. Поставим уравнения y = -x^2 + 1 и y = x + 1 равными друг другу:

   -x^2 + 1 = x + 1

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   -x^2 - x + 1 - 1 = 0

3. Упрощаем:

   -x^2 - x = 0

4. Факторизуем:

   -x(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения:

1. x = 0
2. x = -1

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, с помощью определенного интеграла. Площадь будет равна интегралу от разности функций y = x + 1 и y = -x^2 + 1 от x = -1 до x = 0:

$S = \int_{-1}^{0} [(x + 1) - (-x^2 + 1)] dx$

$S = \int_{-1}^{0} (x + 1 + x^2 - 1) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (x + x^2) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}$

$S = \left[0 + 0\right] - \left[\frac{(-1)^2}{2} + \frac{(-1)^3}{3}\right]$

$S = \left[0\right] - \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right]$

$S = -\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)$

$S = -\frac{1}{6}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 1 и y = x + 1, равна -1/6 квадратных единиц (единицы площади).