Question

Дифференциальное уравнение: ydx=x³dy, если при x=1; y=1.

Answer 1

Ответ:

$ydx = {x}^{3} dy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{ {x}^{3} } \\ ln(y) = \int\limits {x}^{ - 3} dx \\ ln(y) = \frac{ {x}^{ - 2} }{ - 2} + C \\ ln(y) = - \frac{1}{2 {x}^{2} } + C$

общее решение

$y(1) = 1$

$ln(1) = - \frac{1}{2} + C \\ C = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$ln(y) = - \frac{1}{2 {x}^{2} } + \frac{1}{2} \\ ln(y) = \frac{ {x}^{2} - 1}{2 {x}^{2} }$

частное решение

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Начнем с записи уравнения:

y dx = x^3 dy

Теперь давайте разделим обе стороны на соответствующие переменные:

dy/dx = (x^3)/y

Теперь мы можем разделять переменные, перемещая y на одну сторону и x и dx на другую сторону:

y dy = x^3 dx

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

∫y dy = ∫x^3 dx

Интегралы:

(1/2)y^2 = (1/4)x^4 + C

Теперь, чтобы найти константу C, мы можем использовать начальное условие, что при x = 1, y = 1:

(1/2)(1)^2 = (1/4)(1)^4 + C

1/2 = 1/4 + C

C = 1/2 - 1/4

C = 1/4

Итак, мы нашли значение константы C. Теперь мы можем записать окончательное решение дифференциального уравнения:

(1/2)y^2 = (1/4)x^4 + 1/4

Это является общим решением уравнения. Если вам нужно найти частное решение с начальным условием x = 1, y = 1, подставьте эти значения:

(1/2)(1)^2 = (1/4)(1)^4 + 1/4

1/2 = 1/4 + 1/4

1/2 = 1/2

Получается, что начальное условие удовлетворяет общему решению, и оно верно для x = 1, y = 1.