Question

Производная функции z = x^2 *y в точке Р (1; 0) в направлении вектора a = 3 i + 4 j равна

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z = yx²;   P(1;0);   a=3i + 4j

производная в точке P(1;0) по направлению вектора а(3;4).

∂z/∂a=  $z'_x*cos\alpha +z'_y*cos\beta$

$z'_x=2xy;$   $z'_y=x^2$

$z'_x_{(1;0)}= 2*1*0=0;$   $z'_y_{(1;0)}=1^2=1$

$cos\alpha =\frac{x}{IaI;}$   $cos\beta = \frac{y}{IaI}$

$IaI = \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{3^2+4^2} =5$

$cos\alpha = 3/5;$     $cos\beta = 4/5$

∂z/∂a = 0*(3/5) + 1* (4/5) = 4/5

∂z/∂a < 0, значит  заданная функция в направлении вектора a убывает.

Answer 2

Для нахождения производной функции z = x^2 * y в точке P(1, 0) в направлении вектора a = 3i + 4j, мы можем воспользоваться градиентом и правилом дифференцирования сложной функции. Градиент функции задается следующим образом:

∇z = (∂z/∂x)i + (∂z/∂y)j

Сначала найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z/∂x = ∂(x^2 * y)/∂x = 2xy ∂z/∂y = ∂(x^2 * y)/∂y = x^2

Теперь вычислим эти частные производные в точке P(1, 0):

∂z/∂x|P = 2 * 1 * 0 = 0 ∂z/∂y|P = 1^2 = 1

Теперь у нас есть градиент функции z в точке P(1, 0):

∇z|P = 0i + 1j = j

Теперь мы можем вычислить производную функции z в направлении вектора a = 3i + 4j как скалярное произведение градиента и единичного вектора направления â:

∇z|P ⋅ â = j ⋅ (3/5)i + (4/5)j = (4/5)j

Таким образом, производная функции z = x^2 * y в точке P(1, 0) в направлении вектора a = 3i + 4j равна (4/5)j.