Question

Интеграл (x^2+5x-3)e^2x-1 dx

Answer 1

Ответ:

$\int\limits( {x}^{2} + 5x - 3) {e}^{2x - 1} dx$

по частям:

$u = {x}^{2} + 5x - 3 \: \: \: \: \: \: \: \: du = (2x + 5)dx \\ dv = {e}^{2x - 1} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: v = \frac{1}{2} {e}^{2x - 1}$

$uv -\int\limits vdu = \\ = \frac{ {x}^{2} + 5x - 3 }{2} {e}^{2x - 1} - \frac{1}{2} \int\limits(2x + 5) {e}^{2x - 1} dx$

$\int\limits(2x + 5) {e}^{2x - 1} dx$

по частям:

$u = 2x + 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: du = 2dx \\ dv = {e}^{2x - 1} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: v = \frac{1}{2} {e}^{2x - 1}$

$= \frac{2x + 5}{2} {e}^{2x - 1} - \frac{1}{2} \times 2\int\limits {e}^{2x - 1} dx = \\ = \frac{2x + 5}{2} {e}^{2x - 1} - \frac{1}{2} {e}^{2x - 1} + C$

собираем:

$\frac{ {x}^{2} + 5x - 3 }{2} {e}^{2x - 1} - \frac{1}{2} ( \frac{2x + 5}{2} {e}^{2x - 1} - \frac{1}{2} {e}^{2x - 1} ) + C= \\ = \frac{1}{2} {e}^{2x - 1} ( {x}^{2} + 5x - 3 - \frac{2x + 5}{2} + \frac{1}{2} ) + C = \\ = \frac{ {e}^{2x - 1} }{2} ( {x}^{2} + 5x - 3 - x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} ) + C= \\ = \frac{ {e}^{2x - 1} }{2} ( {x}^{2} + 4x - 7) + C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, можно воспользоваться методом интегрирования по частям, который выражается формулой:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части выражения, которые мы выбираем для дифференцирования и интегрирования соответственно.

В данном случае выберем:

u = x^2 + 5x - 3, dv = e^(2x - 1) dx,

тогда:

du = (2x + 5) dx, v = (1/2)e^(2x - 1).

Теперь, используя формулу интегрирования по частям, вычислим интеграл:

∫(x^2 + 5x - 3)e^(2x - 1) dx = uv - ∫v du = (x^2 + 5x - 3)(1/2)e^(2x - 1) - ∫((1/2)e^(2x - 1))(2x + 5) dx.

Упростим выражение:

= (1/2)e^(2x - 1)(x^2 + 5x - 3) - (1/2)∫(2x + 5)e^(2x - 1) dx.

Теперь рассмотрим второй интеграл ∫(2x + 5)e^(2x - 1) dx. Для его вычисления также воспользуемся методом интегрирования по частям:

Выберем новые u и dv:

u = 2x + 5, dv = e^(2x - 1) dx,

тогда:

du = 2 dx, v = (1/2)e^(2x - 1).

Применяем формулу интегрирования по частям к новым u и dv:

∫(2x + 5)e^(2x - 1) dx = uv - ∫v du = (2x + 5)(1/2)e^(2x - 1) - (1/2)∫2e^(2x - 1) dx = (x + 5/2)e^(2x - 1) - ∫e^(2x - 1) dx.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в первоначальный интеграл:

∫(x^2 + 5x - 3)e^(2x - 1) dx = (1/2)e^(2x - 1)(x^2 + 5x - 3) - (1/2)[(x + 5/2)e^(2x - 1) - ∫e^(2x - 1) dx].

Теперь вычислим последний интеграл ∫e^(2x - 1) dx, который представляет собой интеграл от экспоненциальной функции:

∫e^(2x - 1) dx = (1/2)e^(2x - 1) + C,

где C - постоянная интеграции.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в нашу исходную формулу:

∫(x^2 + 5x - 3)e^(2x - 1) dx = (1/2)e^(2x - 1)(x^2 + 5x - 3) - (1/2)[(x + 5/2)e^(2x - 1) - (1/2)e^(2x - 1) + C].

Теперь можно произвести упрощение и записать окончательный ответ:

(1/2)e^(2x - 1)(x^2 + 5x - 3) - (1/2)[(x + 5/2)e^(2x - 1) - (1/2)e^(2x - 1) + C].

Таким образом, интеграл ∫(x^2 + 5x - 3)e^(2x - 1) dx равен:

(1/2)e^(2x - 1)(x^2 + 5x - 3) - (1/2)[(x + 5/2)e^(2x - 1) - (1/2)e^(2x - 1) + C].