Question

Найти производную неявной функции y=y(x) : y/x = sin(x y)

Answer 1

$\dfrac{y}{x} = \sin xy$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)' = (\sin xy)'$

$\dfrac{y'x-yx'}{x^2} = \cos xy\cdot(xy)'$

$\dfrac{y'x-y}{x^2} = \cos xy\cdot(x'y+xy')$

$\dfrac{y'x}{x^2}-\dfrac{y}{x^2} = \cos xy\cdot(y+xy')$

$\dfrac{1}{x}\cdot y'-\dfrac{y}{x^2} = y\cos xy+x\cos xy\cdot y'$

$\dfrac{1}{x}\cdot y'-x\cos xy\cdot y'= y\cos xy+\dfrac{y}{x^2}$

$\left(\dfrac{1}{x}-x\cos xy\right)\cdot y'=\left(\cos xy+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot y$

$y'=\dfrac{\cos xy+\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}-x\cos xy} \cdot y$

$y'=\dfrac{x^2\left(\cos xy+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(\dfrac{1}{x}-x\cos xy\right)} \cdot y$

$\boxed{y'=\dfrac{1+x^2\cos xy}{1-x^2\cos xy} \cdot \dfrac{y}{x} }$

Answer 2

Для нахождения производной неявной функции y = y(x), удовлетворяющей уравнению y/x = sin(xy), можно воспользоваться методом неявного дифференцирования.

Для этого дифференцируем обе стороны уравнения по переменной x:

d/dx (y/x) = d/dx (sin(xy))

Для левой стороны применяем правило дифференцирования частного:

(d/dx)y * (1/x) + y * d/dx(1/x) = cos(xy) * (x * dy/dx + y)

Теперь у нас есть уравнение с производными:

(1/x) * dy/dx + y * (-1/x^2) = cos(xy) * (x * dy/dx + y)

Теперь мы можем выразить dy/dx:

dy/dx = [cos(xy) * (x * dy/dx + y) + y/x^2] / (1/x - cos(xy))

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно dy/dx. Раскроем скобки:

dy/dx = [cos(xy) * x * dy/dx + cos(xy) * y + y/x^2] / (1/x - cos(xy))

Теперь выразим dy/dx, собрав все члены с dy/dx слева:

dy/dx - cos(xy) * x * dy/dx = cos(xy) * y + y/x^2

dy/dx * (1 - cos(xy) * x) = cos(xy) * y + y/x^2

dy/dx = (cos(xy) * y + y/x^2) / (1 - cos(xy) * x)

Это производная неявной функции y = y(x) относительно x.