Question

Пусть натуральные числа m и n удовлетворяют равенству 1/m + 1/n = 1/2021 .Докажите, что m и n не могут иметь разную четность.​

Answer 1

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2021}$

$\frac{n}{nm} + \frac{m}{nm} = \frac{1}{2021}$

$\frac{n+m}{nm} = \frac{1}{2021}$

$2021\cdot (n+m) = mn$

$mn - 2021m - 2021n = 0$

$mn - 2021m - 2021n + 2021^2 = 2021^2$

$m\cdot (n - 2021) - 2021\cdot (n - 2021) = 2021^2$

$(n - 2021)\cdot (m - 2021) = 2021^2$

2021² - нечетное число, а значит, каждое из чисел

(n-2021) и (m - 2021)  -- нечетные. (В противном случае левая часть последнего равенства оказалось бы чётной.)

n - 2021 = 2p + 1;

m - 2021 = 2q + 1;

n = 2p + 1 + 2021 = 2p + 2022 = 2·(p+1011);

m = 2q + 1 + 2021 = 2q + 2022 = 2·(q + 1011);

отсюда видно, что m и n оба чётные.

Answer 2

Давайте рассмотрим равенство:

1/m + 1/n = 1/2021

Для начала, заметим, что m и n должны быть положительными натуральными числами, так как их обратные значения должны быть положительными и целыми числами.

Попробуем рассмотреть случаи, когда m и n имеют разную четность:

1. Пусть m - четное, а n - нечетное. Поскольку 1/2021 - это положительная дробь, то и оба слагаемых на левой стороне равенства должны быть положительными. Однако, если m - четное число, то 1/m также будет положительным числом, и чтобы 1/n было положительным, n должно быть положительным. Это приводит к тому, что оба числа m и n положительные и четные. То есть, m и n не могут иметь разную четность в этом случае.

2. Пусть теперь m - нечетное, а n - четное. Аналогично, чтобы 1/2021 было положительным числом, оба слагаемых на левой стороне должны быть положительными. Если m - нечетное, то 1/m также будет положительным числом, и чтобы 1/n было положительным, n должно быть положительным. Таким образом, и в этом случае m и n не могут иметь разную четность.

3. Пусть m и n оба четные. В этом случае оба слагаемых на левой стороне будут положительными, и равенство будет выполняться.

4. Пусть m и n оба нечетные. В этом случае оба слагаемых на левой стороне также будут положительными, и равенство будет выполняться.

Итак, мы видим, что во всех случаях, когда m и n имеют разную четность, равенство 1/m + 1/n = 1/2021 не выполняется. Следовательно, m и n должны иметь одинаковую четность.