Question

Найди число сумм вида 2021^k+2021^m, которые делятся на 2022 (здесь показатели степени k и m - различные натуральные числа, не превосходящие 2021).

Answer 1

Ответ:

4038 сумм

Пошаговое объяснение:

Минимальный случай:

2021^2 + 2021^1 = 2022*2021

И так будет всегда, когда k = m + 1

2021^(m+1) + 2021^m = 2022*2021^m

Так как 2 <= k <= 2021, то существует всего 2020 таких сумм.

Кроме того, неожиданно оказалось, что:

2021^4 + 2021^1 = 2022*2021*4082421

В общем виде k = m + 3

2021^(m+3) + 2021^m = 2021^m*(2021^3 + 1) = 2021^m*2022*4082421

Здесь 4 <= k <= 2021, существует всего 2018 таких сумм.

Всего получается 2020 + 2018 = 4038 сумм.

Есть ли еще такие суммы, например:

2021^6 + 2021^1 или 2021^8 + 2021^1 или еще какие-то,

посчитать невозможно - числа слишком большие.

Answer 2

Для того чтобы найти число сумм вида 2021^k + 2021^m, которые делятся на 2022, нужно рассмотреть различные случаи.

1) Если k и m оба нечетные, то 2021^k + 2021^m будет иметь вид a + a, где a = 2021^k, и это число не будет делиться на 2022, так как 2022 является четным числом.

2) Если k и m оба четные, то 2021^k + 2021^m будет иметь вид a + a, где a = 2021