Question

Записать формулу для производной n-го порядка указанной функции y=x*e^(3*x)

Answer 1

Ответ:

Решение

Пошаговое объяснение:

$y'=e^{3x}+3xe^{3x}=e^{3x}(1+3x);\\y''=3e^{3x}+3e^{3x}(1+3x)=3e^{3x}(2+3x);\\y'''=9e^{3x}+9e^{3x}(2+3x)=9e^{3x}(3+3x);\\...;\\y^{(n)}=3^{n-1}e^{3x}(n+3x).$

Answer 2

Для нахождения производной n-го порядка функции $y = x \cdot e^{3x}$ можно воспользоваться формулой Лейбница. Первая производная этой функции:

$y' = \frac{d}{dx} (x \cdot e^{3x}) = x \cdot \frac{d}{dx} (e^{3x}) + e^{3x} \cdot \frac{d}{dx} (x) = x \cdot 3e^{3x} + e^{3x} = e^{3x} (3x + 1).$

Теперь найдем вторую производную:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} (x \cdot e^{3x}) = \frac{d}{dx} (e^{3x} (3x + 1)) = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx} (3x + 1) + (3x + 1) \cdot \frac{d}{dx} (e^{3x}) = e^{3x} \cdot 3 + (3x + 1) \cdot 3e^{3x} = 3e^{3x} + 3(3x + 1)e^{3x} = 3e^{3x} + 9xe^{3x} + 3e^{3x} = 6e^{3x} + 9xe^{3x}.$

Теперь, чтобы найти производную n-го порядка, можно продолжить применять операцию дифференцирования к предыдущей производной (y''') и так далее. Каждый раз добавляйте дополнительный множитель $3$ и $9x$ в формулу.