Question

Решить дифференциальное уравнение y'+sin x=0, если y=3 при x=0 Dy/x-1=dx/y-2, если y=4 приx =0

Answer 1

Ответ:

1.

$y + \sin(x) = 0 \\ \frac{dy}{dx} = - \sin(x) \\ y = - \int\limits \sin(x) dx \\ y = \cos(x) + c \\ \\ y(0) = 3 \\ 3 = \cos(0) + c \\ c = 3 - 1 = 2 \\ y = \cos(x) + 2$

частное решение

2.

$\frac{dy}{x - 1} = \frac{dx}{y - 2} \\ \int\limits(y - 2)dy = \int\limits(x - 1)dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} - 2y = \frac{ {x}^{2} }{2} - x + c$

общее решение

$y(0) = 4$

$8 - 8 = 0 + c \\ c = 0$

$\frac{ {y}^{2} }{2} - 2y = \frac{ {x}^{2} }{2} - x \\ {y}^{2} - 4y = {x}^{2} - 2x$

частное решение

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями, вам нужно выполнить следующие шаги.

1. Решить дифференциальное уравнение y' + sin(x) = 0.
2. Найти решение с учетом начального условия y(0) = 3.
3. Решить дифференциальное уравнение (Dy/x - 1) = (dx/y - 2).
4. Найти решение с учетом начального условия y(0) = 4.

Начнем с первого уравнения:

1. y' + sin(x) = 0

Чтобы решить это уравнение, выразим y' и проинтегрируем обе стороны:

y' = -sin(x)

∫(1/y) dy = ∫(-sin(x)) dx

ln|y| = ∫(-sin(x)) dx

ln|y| = cos(x) + C1

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(cos(x) + C1)

С учетом начального условия y(0) = 3, мы можем найти значение константы C1:

|3| = e^(cos(0) + C1)

3 = e^(1 + C1)

C1 = ln(3) - 1

Теперь, учитывая начальное условие y(0) = 4, мы можем решить второе уравнение:

(Dy/x - 1) = (dx/y - 2)

dy - x dx = y dx - 2x dy

dy - y dx = x dx - 2x dy

(1 - y) dy = (x - 2x) dx

(1 - y) dy = -x dx

∫(1 - y) dy = ∫(-x) dx

(y - (1/2)y^2) = (-1/2)x^2 + C2

Теперь используем начальное условие y(0) = 4:

(4 - (1/2)(4)^2) = (-1/2)(0)^2 + C2

(4 - 8/2) = 0 + C2

(4 - 4) = C2

C2 = 0

Таким образом, мы нашли значения обеих констант: C1 = ln(3) - 1 и C2 = 0.

Итак, решения вашего задачи:

1. Для первого уравнения y' + sin(x) = 0: |y| = e^(cos(x) + ln(3) - 1)

2. Для второго уравнения (Dy/x - 1) = (dx/y - 2): y - (1/2)y^2 = (-1/2)x^2

Пожалуйста, обратите внимание, что решение уравнений представлено в неявной форме, и оно может быть уточнено, если необходимо.