Question

1) y′ = (5^x – 7^x)′ (находить производную) 2) y′ = (4−e^х 3^х )′ (находить производную)3) y= e^2 · 3^х; y'(2) = ?(находим производную в заданной точке) 4) y = 5x^2 · 7^х; y'(x) = 0 решить уравнение5) y = 7^х 5 · lnx (находить производную)​

Answer 1

Ответ:

1) y′ = (5^x – 7^x)′ (находить производную)

2) y′ = (4−e^х 3^х )′ (находить производную)

3) y= e^2 · 3^х; y'(2) = ?(находим производную в заданной точке)

4) y = 5x^2 · 7^х; y'(x) = 0 решить уравнение

5) y = 7^х 5 · lnx (находить производную)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из ваших заданий по порядку:

1. Найдем производную функции y по x:

   y = 5^x - 7^x

   Для нахождения производной этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования разности:

   y' = (5^x)' - (7^x)'

   Для вычисления производных экспоненциальных функций, мы можем использовать следующее правило: если у нас есть функция y = a^x, то ее производная равна y' = ln(a) * a^x. Применяя это правило к обоим членам, получим:

   y' = ln(5) * 5^x - ln(7) * 7^x

2. Найдем производную функции y по x:

   y = 4 - e^x * 3^x

   Используя правило дифференцирования разности:

   y' = (4)' - (e^x * 3^x)'

   Производная константы равна нулю, и для нахождения производной произведения функций нам понадобится правило производной произведения. Применим его:

   y' = 0 - (e^x)' * 3^x - e^x * (3^x)'

   Для производной e^x используем правило производной экспоненты, а для производной 3^x - правило производной степенной функции:

   y' = -e^x * 3^x - e^x * ln(3) * 3^x

3. Найдем производную функции y по x:

   y = e^2 * 3^x

   Используя правило производной произведения функций (u*v)' = u'v + uv', где u = e^2 (константа) и v = 3^x, получим:

   y' = (e^2)' * 3^x + e^2 * (3^x)'

   Так как (e^2)' = 0 (производная константы равна нулю) и (3^x)' = ln(3) * 3^x (производная степенной функции), то получим:

   y' = 0 * 3^x + e^2 * ln(3) * 3^x = e^2 * ln(3) * 3^x

   Теперь, чтобы найти значение производной в точке x = 2:

   y'(2) = e^2 * ln(3) * 3^2 = e^2 * ln(3) * 9

4. Найдем производную функции y по x:

   y = 5x^2 * 7^x

   Используем правило производной произведения функций:

   y' = (5x^2)' * 7^x + 5x^2 * (7^x)'

   Для вычисления производных, мы можем использовать правило производной степенной функции (x^n)' = n*x^(n-1) и правило производной экспоненты a^x:

   y' = 10x * 7^x + 5x^2 * ln(7) * 7^x

   Чтобы решить уравнение y'(x) = 0, приравняем производную к нулю:

   10x * 7^x + 5x^2 * ln(7) * 7^x = 0

   Теперь выразим x:

   x * (10 * 7^x + 5x * ln(7) * 7^x) = 0

   x = 0 (одно из решений)

5. Найдем производную функции y по x:

   y = 7^x * 5 * ln(x)

   Используем правило производной произведения функций:

   y' = (7^x)' * 5 * ln(x) + 7^x * (5 * ln(x))'

   Для вычисления производных используем правило производной экспоненты a^x и производной логарифма ln(x):

   y' = ln(7) * 7^x * 5 * ln(x) + 7^x * (5 * (1/x))

   Упростим:

   y' = 5 * ln(7) * 7^x * ln(x) + 35^x/x

   Это производная функции y по x.