Question

Сумма четвёртого и пятого членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма третьего и четвёртого равна 5. Найти шестой член геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:  64.

Пошаговое объяснение:

b4+b5=20;

b3+b4=5.

Найти b6.

-----------------------

b1*q^3 + b1*q^4=20;

b1*q^2 + b1*q^3=5.

---

b1*q^3(1+q)=20;   (1)

b1*q^2(1+q) = 5.     (2)

-----

Разделим (1)  на (2)

q=20/5=4;

b1*4²+b1*4³=5;

b1=5/(16+64)=5/80=1/16;

-----------------

b6= b1*q⁵=  1/16 * 4⁵=1/16  *  1024 = 64.

Answer 2

Давайте обозначим члены геометрической прогрессии следующим образом:

a - первый член прогрессии b - второй член прогрессии c - третий член прогрессии d - четвертый член прогрессии e - пятый член прогрессии f - шестой член прогрессии

Мы знаем, что сумма четвертого и пятого членов прогрессии равна 20, что можно записать как:

d + e = 20

Также у нас есть информация о сумме третьего и четвертого членов, которая равна 5:

c + d = 5

Теперь давайте вспомним, что для геометрической прогрессии отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно. Пусть это отношение будет q.

Тогда мы можем записать:

b = a * q c = b * q d = c * q e = d * q f = e * q

Теперь мы видим, что каждый член последовательности выражается через предыдущий с помощью отношения q. Мы также знаем, что сумма третьего и четвертого членов равна 5:

c + d = 5

Используя выражения для c и d через q, мы можем записать:

b * q + c * q = 5

Теперь мы можем заменить c и d в этом уравнении:

(b * q) + (b * q^2) = 5

Факторизуем b * q:

b * q * (1 + q) = 5

Теперь у нас есть выражение для b * q. Мы также знаем, что сумма четвертого и пятого членов равна 20:

d + e = 20

Используя выражения для d и e через q, мы можем записать:

c * q + d * q = 20

Теперь мы можем заменить c и d в этом уравнении:

(b * q^2) + (b * q^3) = 20

Факторизуем b * q^2:

b * q^2 * (1 + q) = 20

Теперь у нас есть два уравнения:

1. b * q * (1 + q) = 5
2. b * q^2 * (1 + q) = 20

Давайте разделим второе уравнение на первое:

(b * q^2 * (1 + q)) / (b * q * (1 + q)) = 20 / 5

Упростим выражение, убрав общие множители:

q = 4

Теперь у нас есть значение q, равное 4. Мы можем использовать его, чтобы найти шестой член прогрессии f:

f = e * q = d * q^2

Теперь мы можем заменить d и q:

f = (c * q) * (q^2) = (c * q^3)

Используя значение q = 4, мы можем найти f:

f = c * (4^3) = c * 64

Таким образом, шестой член геометрической прогрессии равен 64 * c. Теперь мы можем использовать одно из наших известных уравнений, чтобы найти c. Давайте воспользуемся уравнением c + d = 5, так как у нас уже есть значение d:

c + d = 5 c + (c * q) = 5 c + (c * 4) = 5

Теперь решим это уравнение для c:

5c + 4c = 5 9c = 5 c = 5 / 9

Теперь мы знаем значение c, и мы можем найти f:

f = c * 64 = (5 / 9) * 64 = 320 / 9

Таким образом, шестой член геометрической прогрессии равен 320 / 9 или приближенно 35.56.