Question

Даю 85 баллов Найти производную сложной функции 1) Y = 3^x * sin4x 2)Y = (X ― ^4 ― 25)^8 3)Y = x^4 / ln2

Answer 1

Ответ:

1.

$y = {3}^{x} \times \sin(4x)$

$y '= ( {3}^{x} ) '\times \sin(4x) + ( \sin(4x))' \times {3}^{x} = \\ = ln(3) \times {3}^{x} \times \sin(4x) + \cos(4x) \times 4\times {3}^{x} = \\ = {3}^{x} ( ln(3) \times \sin(4x) + 4\cos(4x) )$

2.

$y = {(x- {x}^{4} - 25)}^{8}$

$y' = 8 {( x-{x}^{4} - 25) }^{7} \times (x- {x}^{4} - 25)' = \\ = 8 {( x-{x}^{4} - 25) }^{7} \times (1-4 {x}^{3} )$

3.

$y = \frac{ {x}^{4} }{ ln(2x) }$

$y' = \frac{({x}^{4})'\times ln(2x)-(ln(2x))' \times {x}^{4} }{ ln^{2}(2x)}= \\= \frac{4{x}^{3}ln(2x)-\frac{1}{2x}\times 2 \times {x}^{4}}{ln^{2}(2x)} =\\=\frac{4x^{3}ln(2x)-x^{3}}{ln^{2}(2x)}$

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции, мы будем использовать правило производной сложной функции, которое гласит: если у вас есть функция u(x), и функция v(u), то производная их композиции (v∘u)(x) равна произведению производной v(u) по u и производной u(x) по x. То есть (v∘u)'(x) = v'(u) * u'(x).

1. Y = 3^x * sin(4x)

Начнем с нахождения производных отдельных компонентов:

d/dx (3^x) = ln(3) * 3^x (производная экспоненты с основанием 3) d/dx (sin(4x)) = 4 * cos(4x) (производная синуса 4x)

Теперь применим правило производной сложной функции:

Y' = (ln(3) * 3^x) * sin(4x) + 3^x * (4 * cos(4x))

2. Y = (x^4 - 25)^8

Сначала найдем производные компонентов:

d/dx (x^4 - 25) = 4x^3 (производная x^4) - 0 (производная константы -25)

Теперь применим правило производной сложной функции:

Y' = 8 * (x^4 - 25)^7 * 4x^3

3. Y = x^4 / ln(2)

Для этой функции:

d/dx (x^4) = 4x^3 (производная x^4) d/dx (ln(2)) = 0 (производная константы ln(2))

Применяем правило производной сложной функции:

Y' = (4x^3) / ln(2)

Таким образом, вы получили производные для каждой из указанных функций:

1. Y' = (ln(3) * 3^x) * sin(4x) + 3^x * (4 * cos(4x))
2. Y' = 8 * (x^4 - 25)^7 * 4x^3
3. Y' = (4x^3) / ln(2)