Question

Переворачивают пять монет. Если исходы предполагаются независимыми, найдите вероятность того, что орел появится ровно 3 раза. По формуле Бернулли или Гаусса

Answer 1

Ответ: p=0,3125.

Пошаговое объяснение:

В данном случае под опытом понимается переворачивание одной монеты. Вероятность появления орла при одном переворачивании p1=1/2, вероятность непоявления q1=1-p=1/2. Тогда искомая вероятность p=C(5,3)*p1³*q1², где C(n,k) -число сочетаний из n по k. Отсюда p=0,3125  

Answer 2

Для решения этой задачи, можно воспользоваться формулой Бернулли, так как она применима к ситуациям с бинарными исходами (в данном случае, выпадение орла или решки на каждой монете).

Формула вероятности успеха в одном испытании Бернулли выглядит следующим образом: $P(\text{успех}) = p$ где $p$ - вероятность успеха (в данном случае, вероятность выпадения орла).

Вероятность неудачи в одном испытании Бернулли: $P(\text{неудача}) = 1 - p$ где $1 - p$ - вероятность неудачи (в данном случае, вероятность выпадения решки).

Теперь мы можем воспользоваться формулой Бернулли для нахождения вероятности получения 3 орлов из 5 монет. Вероятность успеха $p$ равна вероятности выпадения орла, которая обычно составляет 0.5 при честной монете.

Формула вероятности биномиального распределения Бернулли: $P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ где:

• $P(X = k)$ - вероятность получения k успехов из n испытаний.
• $C(n, k)$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n - k)!}$, где $n$ - общее число испытаний, $k$ - количество успехов.

В данном случае $n = 5$, $k = 3$ и $p = 0.5$. Подставим значения в формулу:

$P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5 - 3}$

Вычислим биномиальный коэффициент: $C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Теперь подставим все значения и вычислим вероятность: $P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125$

Итак, вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза из 5 монетных бросков, составляет 0.3125 или 31.25%.