Question

Пожалуйста помогите!! Найди sin⁡(α + β), если ctgα = 8/15, 0 < α < π, tg⁡β = – 7/24 0 < β < π

Answer 1

Ответ:

скрин

Пошаговое объяснение:

скрин

Answer 2

Для нахождения значения sin(α + β), мы можем воспользоваться формулой суммы для синуса:

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Мы уже знаем значения ctg(α) и tg(β), но нам нужно найти cos(α) и sin(α). Давайте начнем с нахождения cos(α) и sin(α) с помощью данных о ctg(α):

ctg(α) = 8/15

ctg(α) = 1/tan(α)

Следовательно,

tan(α) = 15/8

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение sin(α):

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

Мы уже знаем значение tan(α), и мы можем воспользоваться следующей формулой для нахождения sin(α):

sin(α) = tan(α) / √(1 + tan^2(α))

sin(α) = (15/8) / √(1 + (15/8)^2)

sin(α) = (15/8) / √(1 + 225/64)

sin(α) = (15/8) / √(289/64)

sin(α) = (15/8) / (17/8)

sin(α) = 15/17

Теперь, когда у нас есть значения sin(α) и tg(β), мы можем вычислить sin(α + β):

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

sin(α + β) = (15/17) * cos(β) + cos(α) * (-7/24)

Теперь нам нужно найти значение cos(β). Мы уже знаем значение tg(β), и мы можем использовать следующую формулу:

tg(β) = sin(β) / cos(β)

cos(β) = sin(β) / tg(β) = (-7/24) / (15/8) = (-7/24) * (8/15) = -7/30

Теперь мы знаем и sin(β) и cos(β), и можем продолжить вычисления:

sin(α + β) = (15/17) * (-7/30) + cos(α) * (-7/24)

Теперь нам нужно найти cos(α). Мы уже знаем sin(α) и можем использовать теорему Пифагора:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (15/17)^2 = 1 - 225/289 = 64/289

cos(α) = ±√(64/289)

Поскольку 0 < α < π, cos(α) должен быть положительным, поэтому:

cos(α) = √(64/289) = 8/17

Теперь мы можем продолжить вычисления:

sin(α + β) = (15/17) * (-7/30) + (8/17) * (-7/24)

Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого на 2 и 5, чтобы упростить вычисления:

sin(α + β) = (-1/2) * (-1/3) + (2/5) * (-7/3)

sin(α + β) = (1/6) - (14/15)

Теперь найдем общий знаменатель и сложим дроби:

sin(α + β) = [(1 * 5) - (14 * 2)] / (6 * 15)

sin(α + β) = (5 - 28) / 90

sin(α + β) = -23/90

Итак, sin(α + β) = -23/90.