Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений x^2+y^2=2a 2xy=2a-1 имеет ровно два решения

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Автору: выражая х через у из 2-го уравнения и подставляя в первое и преобразуя логарифм, имеем:

a^(2y -2) = (2 - 2y). И заменяя (2 - 2y) на z, получим:

1 / (a^z) = z. Отсюда один вариант: а = 1 и z =1.

Второй: а = корень из 2 и z = 2. --> y = 0, x = 4.

Хм. И далее а = корень куб из 3 и z = 3. --> y = -1/2, x = 9/2.

а = корень 4-й из 4 и z = 4. --> y = -1, x = 5.

Так. И вообще: а = корень n-й из n и z = n.

Но насчет двух решений не поняла. Всегда одно.

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два решения, мы можем воспользоваться методом исключения переменных. Сначала решим одно из уравнений относительно одной из переменных и подставим это выражение во второе уравнение.

Данная система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 2a$
2. $2xy = 2a - 1$

Давайте изолируем $y$ во втором уравнении:

$2xy = 2a - 1$ $y = \frac{2a - 1}{2x}$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{2a - 1}{2x}\right)^2 = 2a$

Упростим уравнение:

$x^2 + \frac{(2a - 1)^2}{4x^2} = 2a$

Перемножим обе стороны на $4x^2$ для избавления от знаменателя:

$4x^4 + (2a - 1)^2 = 8ax^2$

Теперь у нас есть уравнение вида:

$4x^4 - 8ax^2 + (2a - 1)^2 = 0$

Давайте рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $x^2$:

$4x^2 = 8a \pm \sqrt{64a^2 - 16(2a - 1)^2}$

$4x^2 = 8a \pm \sqrt{64a^2 - 16(4a^2 - 4a + 1)}$

$4x^2 = 8a \pm \sqrt{64a^2 - 64a^2 + 64a - 16}$

$4x^2 = 8a \pm \sqrt{64a - 16}$

Теперь у нас есть два значения выражения $4x^2$ в зависимости от параметра $a$:

1. $4x^2 = 8a + \sqrt{64a - 16}$
2. $4x^2 = 8a - \sqrt{64a - 16}$

Для того чтобы у нас было ровно два решения, оба выражения должны иметь решения. Это возможно только тогда, когда дискриминант выражения в обоих случаях больше или равен нулю:

1. $64a - 16 \geq 0$
2. $64a - 16 \geq 0$

Решим каждое из этих неравенств:

1. $64a - 16 \geq 0$ $64a \geq 16$ $a \geq \frac{16}{64}$ $a \geq \frac{1}{4}$

2. $64a - 16 \geq 0$ $64a \geq 16$ $a \geq \frac{16}{64}$ $a \geq \frac{1}{4}$

Итак, значения параметра $a$, при которых данная система уравнений имеет ровно два решения, - это $a \geq \frac{1}{4}$.