Question

Найдите сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, если b4=81, q=1/3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения суммы первых 7 членов геометрической прогрессии с известными данными b4 (четвертым членом) и q (знаменателем прогрессии), мы можем воспользоваться формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $b_1$ - первый член прогрессии,
• $q$ - знаменатель прогрессии,
• $n$ - количество членов, для которых мы хотим найти сумму.

В данном случае у нас дан четвертый член прогрессии ($b_4 = 81$) и значение $q = \frac{1}{3}$. Мы хотим найти сумму первых 7 членов ($n = 7$).

Для начала нам нужно найти первый член прогрессии ($b_1$). Мы можем использовать формулу для членов геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$

Подставляя значения, которые у нас есть ($b_4 = 81$ и $q = \frac{1}{3}$), мы можем найти $b_1$:

$81 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(4-1)}$ $81 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$ $81 = b_1 \cdot \frac{1}{27}$

Теперь найдем $b_1$:

$b_1 = 81 \cdot 27 = 2187$

Теперь, когда у нас есть значение первого члена прогрессии ($b_1 = 2187$), мы можем найти сумму первых 7 членов:

$S_7 = \frac{2187 \cdot \left(\frac{1}{3}^7 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1}$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{1}{3}^7 = \frac{1}{2187}$ и $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

Теперь подставим их в формулу:

$S_7 = \frac{2187 \cdot \left(\frac{1}{2187} - 1\right)}{-\frac{2}{3}}$

Упростим числитель:

$S_7 = \frac{2187 \cdot \left(\frac{1 - 2187}{2187}\right)}{-\frac{2}{3}}$

$S_7 = \frac{2187 \cdot \left(-\frac{2186}{2187}\right)}{-\frac{2}{3}}$

Теперь упростим выражение, деля числитель и знаменатель на 2187:

$S_7 = \frac{-2186}{-2/3}$

Теперь разделим числитель на дробь в знаменателе:

$S_7 = \frac{-2186}{-2/3} = \frac{-2186 \cdot 3}{-2} = \frac{6568}{2} = 3284$