Question

Решить дифференциальное уравнение xy'-y=-lnx

Answer 1

Ответ:

$xy' - y = - ln(x) \: \: \: | \div x \\ y' - \frac{y}{x} = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - \frac{ ln(x) }{x} \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) \times ln(x) \\ v = x \\ \\ 2) u'v = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \frac{du}{dx} \times x = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \int\limits \: du = - \int\limits\frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ \int\limits \frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ \\ U = ln(x) \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = \frac{dx}{ {x}^{2} } \: \: \: V = - \frac{1}{x} \\ \\ UV - \int\limits \: VdU = \\ = - \frac{ ln(x) }{x} + \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} } = \\ = - \frac{ ln(x) }{x} - \frac{1}{x} +C = \\ = - \frac{1}{x} (ln(x) + 1) + C \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ \\ \int\limits \: du = - \int\limits \frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ u = \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C \\ \\ y = uv = x \times ( \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C\\ y = ln(x) + 1 + \frac{ C }{x}$

общее решение

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения первого порядка xy' - y = -ln(x), давайте воспользуемся методом разделения переменных.

Сначала перепишем уравнение:

xy' - y = -ln(x)

Теперь разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x и dx, на другую сторону:

xy' - y = -ln(x)

xy' = y - ln(x)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив y и dy на одну сторону, а x и dx на другую:

(dy/dx) = (y - ln(x)) / x

Теперь мы применим раздельное интегрирование. Для этого выразим dy/dx:

dy/dx = (y - ln(x)) / x

Теперь переместим все y-связанные члены на левую сторону и x-связанные члены на правую сторону:

dy / (y - ln(x)) = dx / x

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫(1 / (y - ln(x))) dy = ∫(1 / x) dx

Интегрирование левой стороны:

ln|y - ln(x)| = ln|x| + C1, где C1 - постоянная интеграции.

Теперь возводим обе стороны уравнения в экспоненту:

|y - ln(x)| = e^(ln|x| + C1)

Обратите внимание, что мы используем модуль, чтобы учесть оба знака справа.

|y - ln(x)| = e^(ln|x|) * e^(C1)

Теперь используем свойство экспоненты e^(ln a) = a и упростим:

|y - ln(x)| = |x| * e^(C1)

Сначала рассмотрим случай, когда y - ln(x) положительное:

y - ln(x) = x * e^(C1)

Теперь рассмотрим случай, когда y - ln(x) отрицательное:

y - ln(x) = -x * e^(C1)

Теперь объединим оба случая:

y - ln(x) = ± x * e^(C1)

Чтобы обобщить, введем новую константу с обратным знаком:

y - ln(x) = C * x, где C - произвольная константа.

Теперь можно решить это уравнение относительно y:

y = ln(x) + Cx

И это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.