Question

Решить дифференцианое уравнение, методом Бернулли: ((sin(x+y)+sin(x-y))dx+dy)÷cosy=o​

Answer 1

Ответ: -2*cos(x)+ln[tg(y/2+π/4)]=C, где C - произвольная постоянная.

Пошаговое объяснение:

Применяя формулу суммы синусов, получим уравнение:

{[2*sin(x)*cos(y)]*dx+dy}/cos(y)=0, или 2*sin(x)*dx+dy/cos(y)=0. Интегрируя, получаем: -2*cos(x)+ln[tg(y/2+π/4)]=C, где C - произвольная постоянная.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения методом Бернулли, мы сначала преобразуем его в стандартную форму:

dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n.

В данном уравнении, у нас есть:

P(x) = -1/cos(y), Q(x) = sin(x+y) + sin(x-y), n = 1.

Для начала, умножим обе стороны уравнения на cos(y):

cos(y) * dy + (-sin(y)) * cos(y) * dx = (sin(x+y) + sin(x-y)) * cos(y).

Теперь мы можем ввести замену. Пусть v = sin(y), тогда dv/dy = cos(y). Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

dv/dy * dy - sin(y) * dx = (sin(x+y) + sin(x-y)) * cos(y).

Заметим, что у нас есть sin(y) * dx в обоих сторонах уравнения, и они отменяют друг друга. Теперь у нас есть:

dv/dy = (sin(x+y) + sin(x-y)) * cos(y).

Теперь это уравнение можно решить как обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

dv/dy = sin(x+y) * cos(y) + sin(x-y) * cos(y).

Теперь разделим обе стороны на (sin(x+y) + sin(x-y)) * cos(y):

dv/dy = (sin(x+y) * cos(y) + sin(x-y) * cos(y)) / (sin(x+y) + sin(x-y)) * cos(y).

Заметим, что cos(y) можно сократить:

dv/dy = (sin(x+y) * cos(y) + sin(x-y) * cos(y)) / (sin(x+y) + sin(x-y)).

Теперь у нас есть уравнение, которое можно проинтегрировать относительно переменной y. Для интегрирования правой стороны уравнения требуется замена. Пусть u = x + y, тогда du/dy = 1. Следовательно, dv/dy = dv/du * du/dy = dv/du.

Теперь интегрируем обе стороны уравнения относительно y:

∫dv = ∫(sin(u) * cos(y) + sin(u - 2y) * cos(y)) / (sin(u) + sin(u - 2y)) dy.

Теперь у нас есть интеграл относительно y, который можно решить. Однако он может оказаться довольно сложным. Для окончательного решения этого уравнения потребуется решить этот интеграл и затем обратно подставить найденное значение в уравнение.