Question

Для квадратного трехчлена `3x^2-3sqrt2x+13` выделите полный квадрат (квадрат двучлена), найдите наименьшее значение, а также укажите, при каких `x` оно достигается.

Answer 1

$3x^2-3\sqrt{2}x+13 \\ \\ 3\cdot (x^2-\sqrt{2}x+\frac{13}{3})=0 \\ \\ 3\cdot (x^2 -2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{23}{6})=0 \\ \\ 3\cdot ((x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{23}{6})=0\\ \\ 3\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 +\frac{23}{2}=0$

$y=a\cdot (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

a > 0 - ветви параболы направленны вверх

наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a}) \\ \\ (\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{23}{2})$

Наименьшее значение достигается в точке $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и равно $\frac{23}{2}$

Answer 2

Для выделения полного квадрата из данного квадратного трехчлена 3x^2 - 3√2x + 13, мы должны завершить квадратное уравнение по переменной x. Полный квадрат будет иметь следующий вид:

$a(x - h)^2 + k$

где a - коэффициент при x^2, h - координата вершины параболы, и k - значение функции в этой вершине.

В данном случае a = 3, и чтобы найти h и k, мы можем воспользоваться следующими формулами:

$h = -\frac{b}{2a}$ $k = f(h) = a(h - h)^2 + k$

где b - коэффициент при x и f(h) - значение функции при x = h.

В данном уравнении, b = -3√2 и a = 3, поэтому:

$h = -\frac{-3√2}{2(3)} = \frac{√2}{2}$

Теперь, чтобы найти значение k, мы подставим h обратно в уравнение:

$k = 3\left(\frac{√2}{2}\right)^2 - 3√2\left(\frac{√2}{2}\right) + 13$ $k = 3\left(\frac{2}{4}\right) - 3\left(\frac{2}{2}\right) + 13$ $k = \frac{3}{2} - 3√2 + 13$ $k = \frac{3}{2} - 3√2 + \frac{26}{2}$ $k = \frac{29}{2} - 3√2$

Теперь мы выразили данное квадратное уравнение в виде полного квадрата:

$3x^2 - 3√2x + 13 = 3\left(x - \frac{√2}{2}\right)^2 + \frac{29}{2} - 3√2$

Наименьшее значение этой функции достигается в вершине параболы, которая находится в точке $\left(\frac{√2}{2}, \frac{29}{2} - 3√2\right)$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\frac{29}{2} - 3√2$ и достигается при $x = \frac{√2}{2}$.