Question

Выделяя полный квадрат, найдите: а)(2) наименьшее значение квадратного трёхчлена `10x^2-8x+7` (укажите `x_"наим"`); б)(2) наибольшее значение квадратного трёхчлена `3x-x^2/2+7/2` (укажите `x_"наиб"`); в)(2) наибольшее значение выражения `4x^2-3x^4+1`.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) 10x^2 - 8x + 7 = 10(x^2 - 0,8x + 0,7) = 10(x^2 - 2*0,4x + 0,16 + 0,54) =

= 10(x - 0,4)^2 + 5,4. Наименьшее : 5,4.

б) -x^2/2 + 3x + 7/2 = -1/2*(x^2 - 6x - 7) = -1/2*(x^2 - 6x + 9 - 16) =

= -1/2*(x - 3)^2 + 16/2 = -1/2*(x - 3)^2 + 8. Наибольшее : 8.

в) -3x^4 + 4x^2 + 1 = -3(x^4 - 4/3*x^2 - 1/3) = -3(x^4 - 2*2/3*x^2 + 4/9 - 7/9) =

= -3(x^2 - 2/3)^2 + 7/3. Наибольшее : 7/3.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения указанных квадратных трехчленов, вы можете воспользоваться процессом завершения квадрата. Давайте рассмотрим каждый из них поочередно:

a) Для трехчлена 10x^2 - 8x + 7:

1. Завершим квадрат для части с переменными (первые два члена): \[ 10x^2 - 8x = 10\left(x^2 - \frac{4}{5}x\right) = 10\left(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{1}{25}\right) - \frac{10}{25} \]

2. Теперь добавим и вычтем \( \frac{10}{25} \) внутри скобок: \[ 10\left(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{1}{25}\right) - \frac{10}{25} + 7 = 10\left(x - \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{3}{5} \]

Таким образом, минимальное значение будет равно \( \frac{3}{5} \), и оно достигается при \( x_{\text{наим}} = \frac{2}{5} \).

b) Для трехчлена 3x - \(\frac{x^2}{2}\) + \(\frac{7}{2}\):

1. Завершим квадрат для части с переменными (первые два члена): \[ 3x - \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2}\left(x^2 - 6x\right) = -\frac{1}{2}\left(x^2 - 6x + 9\right) + \frac{9}{2} \]

2. Теперь добавим и вычтем \( \frac{9}{2} \) внутри скобок: \[ -\frac{1}{2}\left(x^2 - 6x + 9\right) + \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 8 \]

Таким образом, максимальное значение будет равно 8, и оно достигается при \( x_{\text{наиб}} = 3 \).

c) Для выражения 4x^2 - 3x^4 + 1:

Данное выражение является квартином и не имеет максимального значения при рассмотрении вещественных чисел. Мы можем найти его максимальное значение, рассматривая его в пределах комплексных чисел. Если вас интересует комплексный случай, дайте знать, и я предоставлю ответ для этого случая.