Question

1. Детали 2-го сорта составляют 2/3 всех деталей, которые находятся в партии. Найти вероятность того, что из 4 наудачу взятых деталей 3 окажутся 2-го сорта. 2. С первого склада в магазин поступает 20%, со второго – 80% всех товаров. Среди товаров первого склада 85% стандартных, второго – 95%. 1) С какой вероятностью наудачу выбранный товар окажется нестандартным? 2) Если товар оказался нестандартным, то какова вероятность того, что он поступил а) с первого склада, б) со второго склада?

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1. р=2/3 - вероятность 2-го сорта

1-р=1/3 - вероятность стандартной детали

Собитие Х- количество деталей 2-го сорта из 4

Р(Х=3)=С(4,3)×(2/3)^3×(1/3)=4×8/27×1/3=0.395

2. Пусть собитие Н1- деталь поступила с первого , Н2- со второго склада. Собитие А - деталь стандартная

Р(Н1)=0.2

Р(Н2)=0.8

Р(А/Н1)=0.85

Р(А/Н2)=0.95

!А- собитие, противоположное А, нестандартная деталь

Р(!А)=0.2×(1-0.85)+0.8×(1-0.95)=0.07

Р(!А/Н1)=1-0.85=0.15

Р(!А/Н2)=1-0.95=0.05

а) Р(Н1/!А)=(0.2×0.15)/0.07=0.42857

б) Р(Н2/!А)=(0.8×0.05)/0.07=0.5714

Answer 2

Задача 1: Вероятность того, что из 4 деталей 3 окажутся 2-го сорта.

Пусть событие A - выбор детали 2-го сорта, а событие B - выбор детали 1-го сорта.

Тогда вероятность выбора детали 2-го сорта (A) равна $\frac{2}{3}$, а вероятность выбора детали 1-го сорта (B) равна $\frac{1}{3}$.

Вероятность выбора 3 деталей 2-го сорта из 4 можно выразить с использованием биномиального распределения:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $n$ - число попыток, $k$ - число успехов, $p$ - вероятность успеха, $q$ - вероятность неудачи.

В данном случае $n = 4$, $k = 3$, $p = \frac{2}{3}$, $q = \frac{1}{3}$.

$P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1$

$P(X = 3) = 4 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$

Таким образом, вероятность того, что из 4 наудачу взятых деталей 3 окажутся 2-го сорта, равна $\frac{32}{81}$.

Задача 2: Вероятность того, что товар нестандартный и его происхождение.

1. Вероятность выбора нестандартного товара:

Пусть событие $A$ - выбор товара первого склада, $B$ - выбор товара второго склада, $C$ - выбор стандартного товара, $D$ - выбор нестандартного товара.

Тогда:

$P(D) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B)$

$P(D) = 0.2 \cdot (1 - 0.85) + 0.8 \cdot (1 - 0.95)$

$P(D) = 0.2 \cdot 0.15 + 0.8 \cdot 0.05$

$P(D) = 0.03 + 0.04 = 0.07$

Таким образом, вероятность выбора нестандартного товара равна $0.07$.

2. Вероятность того, что товар, оказавшийся нестандартным, поступил с первого склада:

$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)}$

$P(A|D) = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$

$P(A|D) = \frac{0.2 \cdot 0.15}{0.07}$

$P(A|D) \approx \frac{0.03}{0.07} \approx 0.4286$

Таким образом, вероятность того, что нестандартный товар поступил с первого склада, составляет примерно $42.86\%$.

3. Вероятность того, что товар, оказавшийся нестандартным, поступил со второго склада:

$P(B|D) = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)}$

$P(B|D) = \frac{0.8 \cdot 0.05}{0.07}$

$P(B|D) \approx \frac{0.04}{0.07} \approx 0.5714$

Таким образом, вероятность того, что нестандартный товар поступил со второго склада, составляет примерно $57.14\%$.