Question

Исследовать функцию Z= x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2 на экстремум​

Answer 1

$z'_x=(x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2)'_x=2x+2y=2\cdot (x+y) \\ \\ z'_y=(x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2)'_y=4y+2x+4=2\cdot (2y+x+2) \\ \\ \left \{ {{2\cdot (x+y)=0} \atop {2\cdot (2y+x+2)=0}} \right. \left \{ {{x+y=0} \atop {2y+x+2=0}} \right. \left \{ {{x=-y} \atop {2y-y=-2}} \right. \left \{ {{x=-(-2)} \atop {y=-2}} \right. \left \{ {{x=2} \atop {y=-2}} \right.$

Проверка:

$z''_{xy}=(2x+2y)'_y=2 \\ \\ z''_{yx}=(4y+2x+4)'_x=2$

$M_0(2;-2)$   -  стационарная точка

Проверка:

$z'_x(M_0)=z'_x(2;-2)=2\cdot (2-2)=0 \\ \\ z'_y(M_0)=z'_y(2;-2)=2\cdot (2\cdot (-2)+2+2)=2\cdot (-4+4)=0$

$A=z''_{xx}(M_0); \ \ B=z''_{xy}(M_0); \ \ C=z''_{yy}(M_0)$

$AC-B^2>0$   -   функция имеет экстремум в точке M0

$A>0$ - минимум, $A$ - максимум

$z''_{xx}=(2x+2y)'_x=2>0 \\ \\ z''_{xy}=(2x+2y)'_y=2 \\ \\ z''_{yy}=(4y+2x+4)'_y=4 \\ \\ 2\cdot 4 -2^2 =8-4=4>0$

В точке $M_0 (2;-2)$ функция имеет экстремум – минимум

$z_{min}=z(M_0)=z(2;-2)=2^2+2\cdot (-2)^2+2\cdot 2\cdot (-2)+4\cdot (-2)-2\\ \\ =4+8-8-8-2=-6$

$z_{min}=z(2;-2)=-6$

Answer 2

Чтобы исследовать функцию $Z = x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y - 2$ на экстремум, нужно найти частные производные функции по переменным $x$ и $y$, приравнять их к нулю и решить полученные системы уравнений. Это позволит найти критические точки функции. Затем необходимо проанализировать вторые частные производные, чтобы определить, является ли каждая критическая точка минимумом, максимумом или седловой точкой.

1. Найдем частные производные функции $Z$ по переменным $x$ и $y$:

$$\frac{\partial Z}{\partial x} = 2x + 2y,$$

$$\frac{\partial Z}{\partial y} = 4y + 2x + 4.$$

2. Приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений:

$$2x + 2y = 0, \quad (1)$$

$$4y + 2x + 4 = 0. \quad (2)$$

Из уравнения (1) получаем $x = -y$. Подставляя это в уравнение (2), получаем:

$$4y - 2y + 4 = 0,$$

$$2y = -4,$$

$$y = -2.$$

Отсюда находим $x = 2$.

Таким образом, критическая точка функции $Z$ - это $(2, -2)$.

3. Теперь проанализируем вторые частные производные функции $Z$:

$$\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = 2.$$

4. Поскольку $\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 2 > 0$ и $\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = 4 > 0$, это означает, что критическая точка $(2, -2)$ является локальным минимумом.

Таким образом, функция $Z = x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y - 2$ имеет локальный минимум в точке $(2, -2)$.