Question

* Сидит и надеется на добрых людей * Натуральное число n таково, что n2 + 1 — десятизначное число. Докажите, что в числе n2 + 1 есть две одинаковые цифры.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Число состоит из 10 различных цифр, т.е.  0, 1, 2 ,  ... , 9.

Сумма цифр равна 45, значит число делится на 3.

Покажем, что число К=n*n+1 не может быть кратно 3.

Предположим , сто это не так и число делится на 3. Но тогда n - не может быть кратно 3.

Однако если К кратно 3 то  К-2 не кратно 3.

Но К-2=(n-1)*(n+1). Если n не делится на 3, то  или n-1 или n+1 на 3 делится, что противоречит нашему предположению.

Значит К не может быть крано 3 и записыватья с помощью десяти различных цифр.

Answer 2

Давайте рассмотрим число n^2 + 1 и попробуем доказать, что в нем обязательно есть две одинаковые цифры.

Первое, что стоит отметить, это то, что квадрат любого натурального числа всегда больше или равен 0. Таким образом, n^2 + 1 всегда больше или равно 1. Это означает, что n^2 + 1 является положительным десятизначным числом.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты для n^2 + 1, чтобы доказать наличие двух одинаковых цифр. Поскольку n^2 + 1 является десятизначным числом, его десятичная запись имеет следующий вид:

n^2 + 1 = ABCDEFGHIJ

Где A, B, C, D, E, F, G, H, I и J - это различные цифры от 0 до 9. Нам нужно доказать, что в этой записи есть две одинаковые цифры.

Поскольку у нас есть 10 различных цифр и всего 10 позиций в числе, согласно принципу Дирихле, как минимум одна из цифр должна встретиться более одного раза.

Предположим, что все цифры в числе n^2 + 1 разные. В этом случае, каждая из цифр от 0 до 9 встречается в числе один раз. Но тогда сумма всех цифр от 0 до 9 равна:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Это означает, что сумма всех цифр в числе n^2 + 1 равна 45, и так как число десятизначное, сумма его цифр должна быть кратна 9. Но 45 не делится на 9 без остатка, что приводит к противоречию.

Таким образом, наше предположение о том, что все цифры в числе n^2 + 1 разные, неверно. Это означает, что в числе n^2 + 1 обязательно есть две одинаковые цифры.

Таким образом, мы доказали, что в числе n^2 + 1 есть две одинаковые цифры.