Question

Решите уравнение: 5-4sin^2x+4cosx=0

Answer 1

Ответ:

± 2π/3 + 2πk, k∈Z

Пошаговое объяснение:

5 - 4sin^2x + 4cosx = 0

5 - 4 * (1 - cos^2x) + 4cosx = 0

5 - 4 + 4cos^2x + 4cosx = 0

4cos^2x + 4cosx + 1 = 0

замена. t = cosx

4t² + 4t + 1 = 0

D = 4² - 4*4 = 0

-4/2*4 = -1/2

Вернемся к замене.

cosx = -1/2

x = ± 2π/3 + 2πk, k∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение:

5 - 4sin^2(x) + 4cos(x) = 0

Сначала воспользуемся тригонометрической идентичностью для замены sin^2(x):

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь уравнение выглядит так:

5 - 4(1 - cos^2(x)) + 4cos(x) = 0

Раскроем скобки:

5 - 4 + 4cos^2(x) + 4cos(x) = 0

Упростим:

4cos^2(x) + 4cos(x) + 1 = 0

Теперь это уравнение квадратное по cos(x). Давайте решим его, используя квадратное уравнение:

cos(x) = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)

где A = 4, B = 4 и C = 1. Подставим эти значения:

cos(x) = (-4 ± √(4^2 - 4 * 4 * 1)) / (2 * 4)

cos(x) = (-4 ± √(16 - 16)) / 8

cos(x) = (-4 ± √0) / 8

Теперь у нас есть два случая:

1. cos(x) = (-4 + 0) / 8 = -4/8 = -1/2
2. cos(x) = (-4 - 0) / 8 = -4/8 = -1/2

Таким образом, у нас есть два решения для cos(x): cos(x) = -1/2.

Чтобы найти значения угла x, используйте обратную косинусную функцию:

x₁ = arccos(-1/2) x₂ = 2π - arccos(-1/2)

Теперь найдем значения углов:

x₁ = π/3 (поскольку arccos(-1/2) = π/3) x₂ = 2π - π/3 = 5π/3

Таким образом, решения уравнения 5 - 4sin^2(x) + 4cos(x) = 0 в интервале [0, 2π] следующие:

x₁ = π/3 x₂ = 5π/3