Question

Решение дифф. уравнений с разделяющими переменными. x²y'√x=y при y(4)=1

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} \sqrt{x} y' = y \\ {x}^{2} \sqrt{x }\times \frac{dy}{dx} = y \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} \sqrt{x} } \\ ln( |y| ) = \int\limits {x}^{ - \frac{5}{2} } dx \\ ln( |y| ) = \frac{ {x}^{ - \frac{3}{2} } }{ - \frac{3}{2} } + C \\ ln( |y| ) = - \frac{2}{3x \sqrt{x} } + C$

общее решение

$y(4) = 1$

$ln(1) = - \frac{2}{3 \times 2 \times 4} + C\\ C = \frac{1}{12}$

$ln(y) = - \frac{2}{3x \sqrt{x} } + \frac{1}{12}$

частное решение

Answer 2

Давайте решим это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

x²y'√x = y

Сначала выразим y' (производную y) и y как функции от x:

y' = y / (x²√x)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую сторону:

y / y = (1 / (x²√x)) dx

y сокращается на левой стороне:

1 = (1 / (x²√x)) dx

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫1 dx = ∫(1 / (x²√x)) dx

Интеграл ∫1 dx равен x:

x = ∫(1 / (x²√x)) dx

Теперь мы можем решить правую сторону. Для этого разложим x²√x в виде x^(5/2):

x = ∫(1 / (x^(5/2))) dx

Теперь мы можем интегрировать это:

x = ∫x^(-5/2) dx

Интеграл x^(-5/2) равен (-2/3)x^(-3/2), и мы добавляем константу интеграции C:

x = (-2/3)x^(-3/2) + C

Теперь давайте решим это уравнение относительно x:

x + (2/3)x^(-3/2) = C

Теперь у нас есть общее решение уравнения. Теперь мы можем использовать начальное условие y(4) = 1, чтобы найти значение константы C:

4 + (2/3)(4^(-3/2)) = C

4 + (2/3)(1/8) = C

4 + 1/12 = C

C = 49/12

Итак, общее решение уравнения:

x + (2/3)x^(-3/2) = 49/12

Теперь мы нашли общее решение.