Question

Будут ли коллинеарные векторы AC и BD,если A(2;1;-8) B(1;-5;0) C(8;1;-4) D(4;-5;2)?Если да,то будут ли они направлены в одну сторону?​

Answer 1

AC(6; 0; 4), BD(3; 0; 2) -- коллинеарные, направлены в одну сторону (AC = 2·BD)

Answer 2

Для определения, являются ли векторы AC и BD коллинеарными, нужно проверить, будут ли они пропорциональными.

Вектор AC можно вычислить, вычитая координаты точек C и A: $\vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 1 - 1 \\ -4 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}.$

Аналогично, вектор BD можно вычислить, вычитая координаты точек D и B: $\vec{BD} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -5 - (-5) \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$

Теперь проверим, будут ли они пропорциональными (коллинеарными). Для этого нужно проверить, существует ли такое число $k$, что: $\vec{AC} = k \times \vec{BD}.$

Для этого сравним соответствующие компоненты векторов: $\frac{6}{3} = \frac{0}{0} = \frac{4}{2}.$

Компоненты действительно пропорциональны, их отношения равны. Таким образом, векторы AC и BD являются коллинеарными.

Чтобы узнать, направлены ли они в одну сторону, можно посмотреть на знаки соответствующих компонент. Обратим внимание, что первая и третья компоненты положительные, а вторая компонента равна нулю для обоих векторов. Следовательно, векторы AC и BD направлены в одну сторону.