Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y"=py'+qy=F(x) y"-6y'+9y=X^2+3

Answer 1

Ответ:

1. Решаем ОЛДУ:

$y ''- 6y '+ 9y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 6 k + 9) = 0\\ (k - 3) { }^{2} = 0\\ k_1 = k_2 = 3 \\ y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{3x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A {x}^{2} + Bx + C\\ y '= 2Ax + B \\ y ''= 2A$

$2A - 12Ax - 12B + 9A {x}^{2} + 9Bx + 9C = {x}^{2} + 3 \\ \\ 9A= 1 \\ - 12A + 9B = 0 \\ 2A - 12B+ 9C = 3 \\ \\ A= \frac{1}{9} \\ B = \frac{12}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{4}{27} \\ C= 3 - \frac{2}{9} + \frac{48}{27} = \frac{11}{27}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27}$

Общее решение:

$y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{3x} x + \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, вы можете воспользоваться методом характеристического уравнения. Сначала найдем характеристическое уравнение:

y" - 6y' + 9y = 0

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - 6r + 9 = 0

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

(r - 3)(r - 3) = 0

У нас есть двукратный корень r = 3. Теперь мы можем записать общее решение для однородной части уравнения:

y_h(x) = (c1 + c2x)e^(3x)

Где c1 и c2 - произвольные константы.

Чтобы найти частное решение для неоднородной части уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных (метод Лагранжа). Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Теперь найдем производные этой функции:

y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2*A

Подставим эти производные в исходное уравнение и приравняем к правой части:

2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + B*x + C) = x^2 + 3

Теперь разрешим это уравнение относительно A, B и C. Сначала упростим его:

2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9*C = x^2 + 3

(9A)x^2 + (9B - 12A)x + (2A - 6B + 9C) = x^2 + 3

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

9A = 1 (коэффициент при x^2) 9B - 12A = 0 (коэффициент при x) 2A - 6B + 9C = 3 (свободный член)

Из первого уравнения получаем A = 1/9. Подставим это значение во второе уравнение:

9B - 12(1/9) = 0

9*B - 4 = 0

9*B = 4

B = 4/9

Теперь подставим A и B в третье уравнение:

2*(1/9) - 6*(4/9) + 9*C = 3

2/9 - 24/9 + 9*C = 3

-22/9 + 9*C = 3

9*C = 3 + 22/9

9*C = 29/9

C = 29/81

Итак, мы нашли значения A, B и C. Теперь можем записать частное решение:

y_p(x) = (1/9)*x^2 + (4/9)*x + 29/81

Теперь общее решение дифференциального уравнения будет суммой общего решения однородной части (y_h) и частного решения (y_p):

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = (c1 + c2x)e^(3x) + (1/9)*x^2 + (4/9)*x + 29/81

Где c1 и c2 - произвольные константы.