Question

Вычислить длину дуги y=e^(x/2)+e^(-x/2) х от 0 до 2 Решение на этом сайте есть, но с cosh и sinh. Мы через эти эти функции не решаем. Буду признателен если решите по другому. В интернете ничего не нашел

Answer 1

Ответ:

$l = e - \frac{1}{e}$

решение на фото

Answer 2

Для вычисления длины дуги функции $y = e^{x/2} + e^{-x/2}$ на интервале $[0, 2]$, мы можем воспользоваться интегралом длины дуги. Общая формула интеграла длины дуги выглядит следующим образом:

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$

где $y'$ - производная функции $y$ по $x$.

Давайте найдем производную $y$ и подставим ее в интегральную формулу:

$y = e^{x/2} + e^{-x/2}$

$y' = \frac{d}{dx}\left(e^{x/2} + e^{-x/2}\right)$

Чтобы найти производную, используем правило суммы:

$y' = \frac{d}{dx} e^{x/2} + \frac{d}{dx} e^{-x/2}$

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

$y' = \frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{2} e^{-x/2}$

Теперь мы можем вычислить интеграл длины дуги:

$L = \int_0^2 \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{2} e^{-x/2}\right)^2} \, dx$

Теперь найдем значение этого интеграла. Он, возможно, не имеет аналитического решения, поэтому для его вычисления придется воспользоваться численными методами, такими как метод Симпсона или метод трапеций, используя компьютер или калькулятор.