Question

Помогите решить, объяснением, как и что: ∫ dx/sin^2x(1+ctgx)^3

Answer 1

Ответ:

$\int \dfrac{dx}{sin^2x(1+ctgx)^3}=\Big[\ t=1+ctgx\ ,\ dt=-\dfrac{dx}{sin^2x}\ \Big]=-\int \dfrac{dt}{t^3}=\\\\\\=-\dfrac{t^{-2}}{-2}+C=\dfrac{1}{2\, t^2}+C=-\dfrac{1}{2(1+ctgx)^2}+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(dx / sin^2(x) * (1 + ctg(x))^3), мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям (методом интегрирования Лиувилля). Для этого давайте выберем две функции u и dv и применим формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем:

u = (1 + ctg(x))^3 dv = dx / sin^2(x) dx

Теперь вычислим производные и дифференциалы:

du = 3(1 + ctg(x))^2 * (-ctg^2(x) - 1) dx = -3(1 + ctg(x))^2 * (ctg^2(x) + 1) dx v = -ctg(x)

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫(dx / sin^2(x) * (1 + ctg(x))^3) = -ctg(x) * (1 + ctg(x))^3 + ∫ctg(x) * 3(1 + ctg(x))^2 * (ctg^2(x) + 1) dx

Сначала упростим первое слагаемое:

-ctg(x) * (1 + ctg(x))^3 = -ctg(x) * (1 + ctg(x))^3

Далее, рассмотрим второе слагаемое:

∫ctg(x) * 3(1 + ctg(x))^2 * (ctg^2(x) + 1) dx

Это интеграл можно упростить, заменив ctg(x) через sin(x) и cos(x):

ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Теперь подставим это значение:

∫(3 * sin(x) * cos(x) * (1 + cos(x) / sin(x))^2 * (cos^2(x) / sin^2(x) + 1) dx

Мы видим, что здесь можно упростить дроби и упростить выражение:

∫(3 * sin(x) * cos(x) * (1 + (cos(x) / sin(x))^2) * (cos^2(x) / sin^2(x) + 1) dx

Теперь, раскроем скобки внутри интеграла и упростим:

∫(3 * sin(x) * cos(x) * (1 + cos^2(x) / sin^2(x)) * (cos^2(x) / sin^2(x) + 1) dx

Теперь мы можем произвести замену переменных:

u = cos(x) du = -sin(x) dx

Получим:

-3 * ∫(u * (1 + u^2) * (1 + u^2) * (1/u^2 + 1) (-1/du)

Теперь у нас есть интеграл от функции u. Упростим его:

-3 * ∫((u^2 + u^4) * (1 + u^2) * (1/u^2 + 1) (-1/du)

-3 * ∫((u^2 + u^4) * (1/u^2 + u^2 + 1) (-1/du)

-3 * ∫(u^2 + u^4 + u^2 + u^6 + u^2 + u^4) (-1/du)

-3 * ∫(2u^2 + 2u^4 + u^6) (-1/du)

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

-3 * (-2/3 * u^3 - 2/5 * u^5 - 1/7 * u^7) + C

Подставим обратно значение u = cos(x):

-3 * (-2/3 * cos^3(x) - 2/5 * cos^5(x) - 1/7 * cos^7(x)) + C

Теперь мы получили окончательное выражение для интеграла:

-2 * cos^3(x) + 2/5 * cos^5(x) + 1/7 * cos^7(x) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.